5.4 两角和与差的余弦、正弦和正切教案及板书设计

5.4 (1)两角和与差的余弦公式

李

露

教学内容分析: 两角和与差的余弦是三角恒等式的起始课，是本章中一系列的三角恒等式的基础，因此对两角和与差的余弦公式的掌握必须扎实。

两角和与差的余弦公式的推导是本节课的重点和难点。这一推导过程难度较大也比较复杂，可以通过设置问题情景，提出如何用两角的三角比表示两角差的余弦三角比。在猜测公式和实例检验的过程中激发学生探求公式的兴趣,在具体的推导过程中，引导学生想到借助单位圆来研究任意角三角比的基本方法，运用数形结合完成推导。对学生在推导过程中出现的问题，例如任意角的准确表示等，需指出或以引导的方式加以更正。

在得到公式之后，需要观察和总结公式的特点和规律，便于记忆。在练习时要注意公式的逆用和其它变式的求值及化简问题，应用所学的公式证明三角恒等式的练习在本节课中不宜太难。

教学目标: 探求两角和与差的余弦公式的推导，经历利用单位圆推导公式的过程，并在此过程中，进一步形成严密而准确的数学思维方法。初步掌握公式，并会应用它们解决一些简单的有关三角的求值问题与证明问题。

教学重点：两角和与差的余弦公式的应用

教学难点：两角和与差的余弦公式的推导

教学流程：

实例引入、设置问题

猜测公式、实例检验

课堂小结、布置作业

转换思路、以求代猜

数形结合、推证公式

强调特征、巩固应用

求值化简、简单证明

教学过程：

1、实例引入

（1）cos6012、cos45

，而156045，那么等式22cos15cos60cos45是否成立？

（2）对于任意角、，的余弦如何用和的三角比来表示？

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[说明]（1）cos60cos450，而cos150，所以等式不成立。

（2）对学生所提出的猜想，用具体的数加以检验.通过检验发现cos()不能用简单的coscos或是coscos等来表示，从而明确余弦运算不满足分配律。

2、公式推导

设、是两个任意角.在直角坐标系的单位圆中作出两角、，射线OA、OB分别为其终边，与单位圆相交于A、B两点，其坐标分别为A(cos,sin)，B(cos,sin)。

(cos,sin)AyyA(cos(),sin())B(cos,sin)OxB(1,0)Ox将角的终边OA、OB都绕O旋转角，分别转到OA和OB的位置，则A(cos(),sin())，B(1,0)。

根据两点间距离公式，有

|AB|2(coscos)2(sinsin)222(coscossinsin)

|AB|2[cos()1]2sin2()22cos()

因为AOB绕O旋转角得到AOB，所以|AB||AB|

从而cos()coscossinsin

这个公式叫做两角差的余弦公式, 它对任意角和都成立. 在两角差的余弦公式中，用代替.可得到两角和的余弦公式：cos()coscossinsin。

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3、强调特征

1、公式左边是两角和差的余弦，右边是两个角的余弦之积以及正弦之积的和与差；

2、左右两边的加减号互异；

3、公式中的角，是任意角。

4、例题解析

例1、利用两角和与差的余弦公式，求cos15、cos75的值. 解：cos156262、cos75

44[说明]可以选择不同的角及公式，例如：cos15cos(6045)、cos15cos(4530)；cos75cos(12045)、cos75cos(4530)

例2、化简计算：（1）cos75cos15sin75sin15

（2）coscos(60)sinsin(60)

（3）cos80cos50cos10cos40

[说明]两角和差的余弦公式逆用. 12例3、已知cos()，(0,)，求cos的值。

3132练习: 1. 已知cos(7773352. 已知sin()，cos，0，，求cos的值。

651322例4、（备用）已知三角形ABC，求证：cosCsinAsinBcosAcosB

)cossin()sin35,且3,求sin的值。

752[说明]cosCcos[(AB)] 5、课堂小结

（1）本节课使用数形结合的数学思想方法，借助单位圆推导了两角差的余弦公式.还通过变量替换的方法，得到了两角和的余弦公式. （2）能够应用所学公式进行求值运算和化简，以及简单三角恒等式证明。

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6、教学设计说明

两角差的余弦公式的推导是这堂课的教学难点.一方面，这一推导本身比较复杂，需要学生对任意角有较好的理解.另一方面是来自于学生对待公式推导和证明的认识上.学生其实很清楚，从课本上所学的命题都是被证明过的，是真的.所以认为在课堂学习时，再证明一次并没有多大意义.他们会自觉地重视公式的应用，不自觉地忽视公式的推导.所以要做好证明教学是这堂课成功与否的关键，让学生在探寻、思考、构造的过程中将证明变成真正有意义的学习活动. 所以，在设计教学过程时，将公式的证明变形为开放式的探求.探求的起点是合理的联想：cos()等于什么？一定是与、角的三角比有关.学生很容易联想到乘法分配律：m(ab)mamb，于是猜测cos()coscos.经过实例检验说明上式只对个别角度成立，不具有一般性，从而与乘法分配律区分开.再猜测、再检验…，从这样的过程中一方面培养学生逻辑思考的能力，激励学生探求公式的兴趣，另一方面，发现公式的形式不会太简单，于是转化思路，以求代猜.其基点便是任意角的概念：在直角坐标中由旋转而形成.而研究任意角三角比需借助单位圆的力量.让学生

体会到数形结合这一数学思想的美妙. 而在单位圆中作出角、时，很容易忽略了两角的任意性，将它们表示为：从而没能使接下去的证明涵盖到任意角.这里是教师训练学生逻辑思维和思维严密性的发力点，教师可以通过提问的形式，引导学生自己发现这一问题，想办法补救，使得推导严密准确，适用于任意角度.经历这样一个过程，不但使得学生对公式的任意性有了更好的认识，对变量替换思想有更好的理解，更使得学生的证明能力得到提高，数学的思维方法得到了培养. 在得到公式后，教师应对该公式的重要性加以肯定和突出.不仅能加强学生对公式的重视，更能使学生感到其努力是有价值的，从中体验到成就感. 将课本的例题4作为思考题留给学生，除了课堂时间有限这一因素之外，也作为与下一堂课的衔接。

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