2.4.2 抛物线的几何性质评课稿

抛物线的几何性质

一、教学目标：

1、了解抛物线的定义和几何图形；

2、了解抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程；理解抛物线的简单性质，会用抛物线的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题. 二、基础知识回顾与梳理：

1、若点P到点F(0,2)的距离等于它到直线y20的距离，则点P的轨迹方程是___________. 【教学建议】

本题主要是帮助学生复习，理解抛物线的定义。答案

x28y

①教学时，可把直线方程改为y20让学生注意到定义中的“F不在L上”.

②教学时可从数形两方面得到P点的轨迹方程；也可以通过下面一题让学生对抛物线定义的理解得到巩固加深．

若点P到点F(0,2)的距离比它到x轴的距离大2，则点P的轨迹方程为_______.

答案

x28y或x0(y0)

2、

过点(1,2)的抛物线的标准方程是___________. 【教学建议】

本题选自课本习题，主要是帮助学生复习抛物线的标准方程，注意一次（项）定轴（对称轴），正负（一次项系数）定向（抛物线的开口方向），焦点坐标值等于一次项系数的答案

y24x或x21. 41y

2教学时也可以让学生由标准方程说出焦点坐标，准线方程.如求下列抛物线的焦点坐标、准线方程. （1）y2ax(a0);（2）2y27x0．

23、若P(x0,y0)是抛物线y32x上一点，F为抛物线的焦点，则PF___________. 【教学建议】本题选自课本练习题，主要是帮学生复习

如何解决与焦点弦相关的问题.答案8x0

教学时可让学生回答下列问题：

设过抛物线：y22px(p0)的焦点F的弦为AB，A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB的倾斜角为.则①AB可如何表示？②AB可用的函数表示吗？③AB何时最小？④通径长为多少？⑤以弦AB为直径的圆和准线是何关系？

4、一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽4m.若水面下降1m,水面宽度为_____. 【教学建议】本题选自课本练习题，是抛物线方程的简单应用.答案26m. 教学时要让学生明白解这类题的关键要建立合理的坐标系，其次求曲线方程，再解决实际问题. 三、诊断练习

1、教学处理：课前由学生自主完成5道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏.课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误. 2、诊断练习点评

题1.抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切，则p的值为

【分析与点评】

（1）

抛物线的准线方程是什么？

（2）

已知圆的圆心坐标为(3,0),半径为4，直线与圆相切，怎么处理？

答案p=2 题2.抛物线yax(a0)的焦点坐标是___________.答案(0,21)

4a【分析与点评】方程是标准方程吗？焦点的位置确定吗？参数a的正负影响吗？你有什么发现？

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y21的焦点为焦点的抛物线的方程为______.

答案

y28x

题3.顶点在原点，以双曲线x32【分析与点评】一般方法是先求焦点坐标或准线方程，再定位定量；注意抛物线标准方程形式的多样化.

题4.抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是__________. 【分析与点评】

(1)抛物线的方程是否为标准方程？

(2)抛物线上的点有什么几何性质?(一般情况下，抛物线上一点到焦点的距离转化为到准线的距离.答案利用抛物线上一点到焦点距离与到准线距离相互转化可解一类最值题，如

①M为抛物线y24x上一点，A(3,2)，则MAMF的最小值为__________.答案4

②已知P为抛物线y24x上一点，设P到准线的距离为d1,P到点A(1,4)的距离为d2，则d1d2的最小值为__________.答案4

③已知Q(0,4)，P为抛物线yx21上任意一点，则PQ的最小值为__________. 15) 1611）

2题5.过抛物线y24x焦点的直线交抛物线于A,B两点，以AB为直径的圆中，面积的最小值为（分析与点评：已知抛物线的方程如何设抛物线上点的坐标？答案__________. 【分析与点评】抛物线焦点弦长如何计算？引入什么作为变量？方法一：先将焦点弦表示成倾斜角的函数，AB2P，易知当sin1时AB最小. 答案4

方法二：引入斜率K 解题。

2sin3、要点归纳：

（1）灵活运用抛物线的定义解决与焦点弦有关的问题。

（2）求抛物线标准方程要先定轴、定向、再定量，思考问题要全面. 四、范例导析

例1 求适合下列条件的抛物线的标准方程：

（1）

焦点到准线的距离为5；

（2）

焦点在直线x2y40上. 【教学处理】此例可让学生板演，教师点评；点评时引导学生解此类题要有先定轴定向再定量的步骤意识，把所有情形考虑全面。

【引导分析与精讲建议】此题求的是抛物线的标准方程，抛物线的标准方程隐含了顶点在原点，对称轴为坐标轴；抛物线的标准方程只含一个参数，因此只要一个条件即可，但抛物线的标准方程有四种形式，要考虑全面. 答案（1）x10y或y10x

（2）x8y或y16x

例2已知抛物线C：x2py(p0)上一点A(m,4)到其焦点的距离为2222217．求p与m的值。

4【引导分析与精讲建议】改为：问题1：题中有几个条件？能否直接列等式求解？

问题2：若将抛物线上一点与焦点距离转化为该点到准线的距离，有什么效果？

问题3：比较上述两种方法，你能总结一下这类问题的好的处理方法吗？

例3 抛物线y2px(p0)有一个内接直角AOB，直角顶点在坐标原点. （1）若斜边垂直于x轴，且长为12，求抛物线的方程; （2）若一直角边OA方程为y2x，斜边长为513，求抛物线方程; （3）若AB恒过定点(4,0)，求抛物线方程.

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2

【教学处理】（1）（2）让学生板演，教师点评。（3）可点名回答思路，教师板演解题过程. 【引导分析与精讲建议】（1）（2）易求，分析（3）时可提出以下问题与学生交流：

问题1：OA⊥OB此条件通常如何使用？

问题2：AB恒过定点，此条件一般如何处理？答案（1）y26x（2）y24x（3）y24x

此题还可以做以下变式：

变式1

若直线l与抛物线y22px(p0)交于A、B两点，且OA⊥OB，试研究直线l的特征. 答案

直线l恒过定点(2P,0)

变式2

若直线l过定点(2p,0)且与抛物线y22px(p0)交于A、B两点，试讨论直线OA与直线OB的位置关系.答案

OA⊥OB

变式3

抛物线y22px(p0)有一个内接直角AOB，直角顶点在坐标原点，求AOB面积的最小值.答案

4p2

五、解题反思

1、

抛物线的标准方程和几何性质在高考中是A级要求，但抛物线的标准方程具有多样性，因此思考的时候要全面，时刻不忘先定轴、定向、再定量．

2、

与焦点弦相关的问题要灵活处理。掌握焦点弦公式：ABx1x2p．

3、

与抛物线相关的最值问题可以从数形两方面分析，体会数形结合的思想方法；养成边读题边画图的习惯，益处良多．

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