2.1.4 平面与平面之间的位置关系课件配套优秀教案案例

2.1.4

平面与平面之间的位置关系

[学习目标]

知识梳理

知识点

两个平面的位置关系

位置关系

平面α与平面β平行

平面α与平面β相交

思考

分别位于两个平行平面内的两条直线有什么位置关系？

答

这两条直线没有公共点，故它们的位置关系是平行或异面. α∩β＝l 有一条公共直线

图形表示

符号表示

α∥β

公共点

没有公共点

了解平面与平面之间的两种位置关系，会用符号语言和图形语言表示. 题型探究

题型

平面与平面的位置关系

例1

以下四个命题中，正确的命题有(

) ①在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；

②在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；

③平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧面且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行；

④平面α内两条相交直线和平面β内两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行. A.③④

B.②③④

C.②④

D.①④

答案

A 解析

当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以①②错误. 反思与感悟

1.判断两平面的位置关系或两平面内的线线，线面关系，我们常根据定义，借助实物模型“百宝箱”长方体(或正方体)进行判断. 2.反证法也用于相关问题的证明. 跟踪训练

两平面α，β平行，a⊂α，下列四个命题：

①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；

③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β没有公共点. 其中正确的个数是(

) A.1

B.2

C.3

D.4 答案

B 解析

①错误，a不是与β内的所有直线平行，而是与β内的无数条直线平行，有一些是异面；②正确；③错误，直线a与β内无数条直线垂直；④根据定义，a与β没有公共点，正确. 数学思想

分类讨论思想

例2

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A，Q，B1三点的截面图形的形状. 分析

决定过A，Q，B1三点的截面图形的形状的因素是动点Q，所以要对点Q的位置进行分类讨论. 解

由于点Q是线段DD1上的动点，故①当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图：

②当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图：

③当点Q不与点D，D1重合时，截面图形为等腰梯形AQRB1，如图：

解后反思

本例中由于点Q的位置不确定，导致截面形状不确定，故而采用分类讨论的方法来确定截面.另外，作两个平面的交线要注意直线的无限延伸性和平面的无限延展性，不

要受所画图形的限制. 当堂检测

1.下列命题中，正确的有(

) ①平行于同一直线的两条直线平行；②平行于同一个平面的两条直线平行；③平行于同一条直线的两个平面平行；④平行于同一个平面的两个平面平行. A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

答案

B 解析

②中，也有可能是相交或异面，故②错误；③中，存在平行于两个相交平面的交线，且不在两个平面内的直线，故③错误. 2.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是(

) A.都平行

B.都相交

C.在两个平面内

D.至少与其中一个平面平行

答案

D 解析

这条直线与两个平面的交线平行，有两种情形，其一是分别与这两个平面平行，其二是在一个平面内且平行于另一个平面，符合至少与一个平面平行. 3.下列命题：

①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；

②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β. 其中错误命题的序号为________. 答案

①②

解析

对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD－A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误. 课堂小结

判断直线与平面及平面与平面位置关系常用定义和反证法.