习题2.3第一课时导学案

一、教学目标

直线与平面垂直的判定

1.理解掌握直线与平面垂直的判定定理；

2.会用直线与平面垂直的判定定理分析解决问题；3.培养学生的空间想象能力与转化归纳能力。

二、教学重点

重点在于理解直线与平面垂直的判定定理；

三、教学难点

难点在于能够运用平面垂直的判定定理解决一些证明问题。

四、教学学法与教学用具[来源:Z.xx.k.Com][来源:学科网ZXXK]

1、学法：学生通过导学案预习，联想周围的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标。

2、教学用具:电脑、投影仪、三角形纸片、三角板。

五、教学过程

1.知识回顾

提问：直线与平面的位置关系哪几种？

学生回答：直线在平面内，直线与平面平行，直线与平面相交。

老师总结：是的，直线与平面的位置关系一共有以上三种，我们今天主要学习第三种关系相交。

2.情境引入

在PPT上展示北京天安门旗杆和大桥，如果将旗杆和桥柱看做直线，那么它们与地面/水面有什么关系？

老师总结：我们发现旗杆与地面的关系是特殊的相交——垂直。但是这只是我们肉眼所见的，我们怎样用数学语言描述直线与平面垂直需要满足的条件呢？

我们可以得到直线与平面垂直的定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么我们就说直线与平面互相垂直，记作⊥。

3.深入理解线面垂直定义，引出线面垂直判定。

判断下列语句是否正确：

①.如果一条直线与一个平面垂直，那么它与平面内所有直线都垂直。[来源:学,科,网Z,X,X,K][来源:Z.xx.k.Com]

②.如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那么它与平面垂直。

学生回答：第一题对，第二题错。

老师总结：很明显第一题是对的，我们可以根据定义，直线与平面垂直可以转化成直线与直线垂直。第二题中如果直线垂直与平面内的无数条平行线，依然无法说明直线与平面垂直。我们发现直线与平面中无数条直线垂直都不能判断直线是否垂直平面，但按照定义中的说法，证明直线要与平面内的每一条直线垂直的话任务就太艰巨了，那么我们怎样在任务尽量少的情况下准确的的判定直线与排名垂直呢? 4.动手操作：课前将剪得的三角形纸片发给学生，将实验过程以视频的方式展示出来。学生学习实验过程进行实验。提问：

（1）折痕AD与桌面垂直吗？

（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？

学生回答：折痕AD与桌面不垂直。折痕AD为BC的高时，折痕AD与

桌面所在的平面垂直。

老师总结：是的，折痕AD为高时垂直桌面。你能根据这个实验得出什么结论？

学生讨论三分钟后回答：一条直线垂直平面两条相交直线，那么直线垂直与这个平面。

老师总结：由于折痕AD为三角形的高，翻折后的垂直关系不变，故AD⊥BD且AD⊥CD，也就是说AD垂直于桌面内的两条相交直线BD、CD时，它就垂直于桌面，那我们可以得到直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．

符号表示：

m,nmnPllm,ln转化思想：线线垂直也可以通过判定定理转化成线面垂直。

那么除了这个判定定理，还有没有其它的办法判定直线与平面垂直呢？

5.例一

如图，已知a∥b，a⊥α，那么b与α的关系？

学生回答:

⊥

老师总结：

⊥

只是我们的一个猜想，那我们怎么证明它？首先我们需要在平面

内作两条相交直线

,

，因为直线

⊥

.

根据直线与平面垂直的定义知：

⊥

,

⊥

。又因为

∥

,所以

⊥

,

⊥

。又因为 ⊂ , ⊂ ,

,

是两条相交直线，所以

⊥

。我们由此可以得到推论：两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这一

个平面，也可以用定义性质证明：在平面上任意取一条直线 ⊂ ，由直线与平面垂直定义可知：

⊥

。∵

∥

，∴

⊥

。∴

也垂直于平面上的任意直线，∴由定义可知

⊥

。。

例二

一旗杆高8 m，在它的顶点处系两条长10 m的绳子，拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点（与旗杆脚不在同一条直线上）．如果这两点与旗杆脚距6 m，那么旗杆就与地面垂直．为什么？

例三

在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC。

求证：BC⊥面PAB

变式训练

如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，C点到AB1的距离为CE，D为AB的中点. 求证：(1)CD⊥AA1；

(2)AB1⊥平面CED. 例题三老师在黑板上板书证明过程。变式训练让学生自己思考，作在导学案上，请学生上台板书证明过程，老师修改。

6.直线和平面所成的角

（1）斜线

一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线。斜线和平面的交点叫做斜足。

(2)射影

过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影。

（3）直线和平面所成角的定义

平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角。

说明：①一条直线垂直与平面，它们所成的角是直角；②一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角；③直线和平面所成角的范围是[0,]。

27.例四

如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；

(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角. 8.总结[来源学&科&网]

1.将本节课所学内容进行回顾梳理，对直线与平面垂直的定义、判定定理、推论进行记忆。再次强调线面垂直与线线垂直的相互转化思想。

2.求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤: (1)确定斜线与平面的交点(斜足);(2)通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线,连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影,则斜线和射影所成的锐角即为所求的角;(3)求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形.