3.1.2 导数的概念第一课时导学案

导数的概念

一．

教学目标

1、

知识与技能：

通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。

2、

过程与方法：

①

通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力

②

通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法

3、

情感、态度与价值观：

通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣. 二、

重点、难点



重点：导数概念的形成，导数内涵的理解



难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵

通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点

四、

教学设想（具体如下表）

教学环节

创设情景

、

引入新课

教学内容

师生互动

设计思路

首先回顾上节课留下的引起学生的好奇，意识到平幻灯片

思考题：

均速度只能粗略地描述物

回顾上节课留下的思考题：

在学生相互讨论，交流体在某段时间内的运动状在高台跳水运动中，运动员相对水面的高结果的基础上，提出

：态，为了能更精确地刻画物度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：大家得到运动员在这段体运动，我们有必要研究某时间内的平均速度为个时刻的速度即瞬时速度。

2s）存在函数关系h（t）=－4.9t ＋6.5t＋“0”，但我们知道运动

员在这段时间内并没有使学生带着问题走进课堂，6510.计算运动员在0t这段时间里“静止”。为什么会产生激发学生求知欲

49这样的情况

的平均速度，并思考下面的问题：

（1）运动员在这段时间里是静止的吗？

呢？

（2）你认为用平均速度描述运动员的运

动状态有什么问题吗？

[来源:m]

根据学生的认知水平,概念的形成分了两个层次：



结合跳水问题，明确瞬时速度的定义

问题一：请大家思考如何求运动员的瞬时K]

速度，如t=2时刻的瞬时速度？

教

学

过

程

问题二：请大家继续思考，当Δt取不同值时,尝试计算v值？

Δt

-0.1 -0.01 -0.001 -0.0001[来源:学科网]

-0.00001 ………. 提出问题一，组织学生讨论，引导他们自然地想到选取一个具体时刻如t=2，研究它附近的平均速度变化情况来寻找到问题的思路，使抽象问题具体化

学生对概念的认知需要借助大量的直观数据，所以我让学生利用计算器，分组完成问题二，

理解导数的内涵是本节课的教学重难点，通过层层设疑，把学生推向问题的中心，让学生动手操作，直观感受来突出重点、突破难点

h(2t)h(2)的t

帮助学生体会从平均速度出发，“以已知探求未知”的数学思想方法, 培养学生的动手操作能力

v

Δt

0.1

0.01

0.001

0.0001 v

….

0.00001

…….

…

一方面分组讨论，上台板演，展示计算结果，同时口答：在t=2时刻,Δt趋于0时，平均速度趋于一个确定的值-13.1，即瞬时速度，第一次体会逼近思想；另一方面借助动画多渠道地引导学生观察、分析、比较、归纳，第二次体会逼近思想，为了表述方便,数学中用简洁的符号来表示,即

数形结合，扫清了学生的思维障碍，更好地突破了教学的重难点，体验数学的简约美

问题三：当Δt趋于0时，平均速度有怎样的变化趋势？

Δt

-0.1 -0.01 -0.001 -0.0001 v

-12.61 -13.051 -13.0951 -13009951 -13.099951 ….

Δt

0.1

0.01

0.001

0.0001 v

-13.59 -13.149 -13.1049 -13.10049 -13.100049 …

-0.00001

0.00001

…….

h(2t)h(2)lim13.1

t0t

……….

问题四：运动员在某个时刻t0的瞬时速度如何表示呢？

问题五：如果将这个变化率问题中的函数用f(x)来表示，那么函数f(x)在

引导学生继续思考:运动员在某个时刻t0的瞬时速度如何表示? 学生意识到将t0代替2,可类比得到与旧教材相比,这里不提及极限概念,而是通过形象生动的逼近思想来定义t0时刻的瞬时速度,更符合学生的认知规律,提高了他们的思维能力,体现了特殊到一般的思维方法

引导学生舍弃具体问题的实际意义,抽象得到导数定义,由浅入深、由易到难、由特殊到一般，帮助学生完成了思维的飞跃；同时提及导数产生的时代背景，让学生感受数学文化的熏陶，感受数学来源于生活，又服务于生活。

h(t0t)h(t0)

t0tlim在前面两个问题的铺垫下,进一步提出，我们这里研究的函数f(x)在xx0处的瞬时变化率如何呢？

xx0处的瞬时变化率f(x0x)f(x0)flimx0x0xxlim即yf(x)在xx0处的导数,记作

f(x0)limf(x0x)f(x0)x0xxx0(也可记为y)

例1：将原油精炼为汽油、柴油、塑料等

不同产品，需要对原油进行冷却和加热。

如果在第x h时候，原油温度（单位：c）为f(x)x27x15(0x8)

（1）计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义。

（2）计算第3h和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义。

步骤： ①启发学生根据导数定义，再分别求出典例探究

、

延伸

拓展

步步设问，引导学生深入探究导数内涵

发展学生的应用意识，是高中数学课程标准所倡导的重要理念之一。在教学中以具体问题为载体,加深学生对导数内涵的理解，体验数学在实际生活中的应用

f(2)和f(6)

②既然我们得到了第2h和第6h的原油温度的瞬时变化率分别为-3与5，大家能说明它的含义吗？

③大家是否能用同样方法来解决问题二？

④师生共同归纳得到，导数即瞬时变化率，可反映物体变化的快慢

变式练习：已知一个物体运动的位移（m）

2与时间t（s）满足关系S（t）＝-2t+5t（1）求物体第5秒和第6秒的瞬时速度

学生独立完成，上台板演，第三次体会逼近思（2）求物体在t时刻的瞬时速度

想

（3）求物体t时刻运动的加速度，并判断物体作什么运动？

目的是让学生学会用数学的眼光去看待物理模型，建立各学科之间的联系，更深刻地把握事物变化的规律

归纳总结

、

内化知识

1、瞬时速度的概念

引导学生进行讨论，相2、导数的概念

互补充后进行回答，老

师评析，并用幻灯片给3、思想方法：“以已知探求未知”、逼近、出

类比、从特殊到一般

让学生自己小结，不仅仅总结知识更重要地是总结数学思想方法。这是一个重组知识的过程，是一个多维整合的过程，是一个高层次的自我认识过程，这样可帮助学生自行构建知识体系，理清知识脉络，养成良好的学习习惯

作业安排、板书设计

（必做）第10页习题A组第2、3、4 题

（选做）：思考第11页习题B组第1题

作业是学生信息的反馈，能在作业中发现和弥补教学中的不足，同时注重个体差异，因材施教

附后

板书设计清楚整洁,便于突出知识目标

五、

学法与教法



学法与教学用具

学法：

（1）合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题。（如题2的处理）

（2）自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动。（如题3的处理）

（3）探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知。（如例题的处理）

教后反思：



教法：整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则，突出①动——师生互动、共同探索。②导——教师指导、循序渐进

（1）

新课引入——提出问题, 激发学生的求知欲

（2）

理解导数的内涵——数形结合，动手计算,组织学生自主探索,获得导数的定义

（3）

例题处理——始终从问题出发，层层设疑，让他们在探索中自得知识

（4）

变式练习——深化对导数内涵的理解，巩固新知