2.1.4 平面与平面之间的位置关系优质课一等奖

直线与平面垂直

一、复习目标

1、掌握直线与平面垂直的定义、判定定理、性质定理，能用文字、符号、图形表示它们，并能在证明过程中规范的的应用. 2、学会从线线垂直、面面垂直两方面分析线面垂直问题，掌握解决线面垂直问题的常用思路和方法. 3、通过线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化提高化归转化能力. 二、课前预习

1、已知a，b，c是直线，，是平面，下列条件中，能得出直线a⊥平面的是（ ）

A、a⊥c,a⊥b，其中b,c

B、a⊥b,b∥

C、⊥，a∥ D、a∥b,b⊥

解：D 2、如果直线l⊥平面，①若直线m⊥l,则m∥；②若m⊥,则m∥l；③若m∥,则m⊥l；④若m∥l,则m⊥,上述判断正确的是 A、①②③

B、②③④

C、①③④

D、②④

解：B 3、直角△ABC的斜边BC在平面内，顶点A在平面外，则△ABC的两条直角边在平面内的射影与斜边BC组成的图形只能是 A、一条线段 B、一个锐角三角形 C、一个钝角三角形 D、一条线段或一个钝角三角形

解：D 4、直线a,b,c 是两两互相垂直的异面直线，直线 d是b和c的公垂线，则d和a 的位置关系是______________. 解：a∥d. 5、如图，在四面体ABCD中，CD⊥BD，CD⊥AD，△ABCD 的面内有一点P，过P在平面ABC内画一直线与CD垂直，应该如何画？说明理由. 解：在平面ABC内过P作PQ∥AB即可.

C P B A

三、典型例题

例1、已知P为Rt△ABC所在平面外点，且PA=PB=PC，D为斜边AB的中点，求证：PD⊥平面ABC. 备课说明：①判定定理的应用；②此结论常用到. 例2、AD为△ABC中BC边上的高，在AD上取一点E，使AE=DE，过E点作直线MN∥BC，交AB于M，交AC于N，现将△AMN沿MN折起，这时A点到A点的位置，且AED=60，求证：AE⊥平面ABC.

A N E 12A

C D M B

备课说明：学会用余弦定理、勾股定理逆定理证明线线垂直. 例3、如图，在ABC中，ABC=90，SA平面ABC，AMSB于M，ANSC于N。求证：MNSC C M A B S N

备课说明：复习证明线线垂直的常用方法及熟练进行线线垂直与线面垂直的互化.

*例4、（提高题）如图，已知直三棱柱ABC-ABC中，BC=AC，AB⊥AC，

求证：AB⊥BC.

A

B

C

A B C

备课说明：复习三垂线定理及其逆定理，提高分析问题能力.

四、反馈练习

1、若两直线a⊥b，且a⊥平面，则b与的位置关系是（

）

A、相交 B、b∥ C、b D、b∥，或b

解：D 2、下列命题中正确的是（

）

A、过平面外一点作这个平面的垂面有且只有一个

B、过直线外一点作这条直线的平行平面有且只有一个

C、过直线外一点作这条直线的垂线有且只有一条

D、过平面外的一条斜线作这个平面的垂面有且只有一个

解：D 3、给出下列命题：

①若平面α的两条斜线段PA、PB在α内的射影长相等，

那么PA、PB的长度相等；

②已知PO是平面α的斜线段，AO是PO在平面α内的射影，若OQ⊥OP，则必有OQ⊥OA；

③与两条异面直线都平行的平面有且只有一个；

④平面α内有两条直线a、b都与另一个平面β平行，则α∥β．

上述命题中不正确的命题是

（ ）

A、①②③④ B、①②③ C、①③④ D、②③④

解：A 4、在正方体中，与正方体的一条对角线垂直的各面上的对角线的条数是_________. 解：6.

5、如图ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAD是等腰三角形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MN平面PCD

P N D A M B C

证明：（略）

6、已知∩=EF，由点A向平面、分别作垂线AB、AC，垂足分别为B、C，又由C向平面作垂线CD，垂足为D，求证：BD⊥EF. 证明：（略）

§49. 直线与平面垂直（学案）

一、复习目标

1、掌握直线与平面垂直的定义、判定定理、性质定理，能用文字、符号、图形表示它们，并能在证明过程中规范的的应用. 2、学会从线线垂直、面面垂直两方面分析线面垂直问题，掌握解决线面垂直问题的常用思路和方法. 3、通过线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化提高化归转化能力. 二、课前预习

1、已知a，b，c是直线，，是平面，下列条件中，能得出直线a⊥平面的是（ ）

A、a⊥c,a⊥b，其中b,c B、a⊥b,b∥ C、⊥，a∥ D、a∥b,b⊥

2、如果直线l⊥平面，①若直线m⊥l,则m∥；②若m⊥,则m∥l；③若m∥,则m⊥l；④若m∥l,则m⊥,上述判断正确的是 （ ）

A、①②③

B、②③④

C、①③④ D、②④

3、直角△ABC的斜边BC在平面内，顶点A在平面外，

则△ABC的两条直角边在平面内的射影与斜边BC组成的图形只能是 （ ）

A、一条线段 B、一个锐角三角形 C、一个钝角三角形 D、一条线段或一个钝角三角形

4、直线a,b,c 是两两互相垂直的异面直线，直线 dD 是b和c的公垂线，则d和a 的位置关系是______________. C A P B 5、如图，在四面体ABCD中，CD⊥BD，CD⊥AD，

△ABC的面内有一点P，过P在平面ABC 内画一直线与CD垂直，应该如何画？说明理由.

三、典型例题

例1、已知P为Rt△ABC所在平面外点，且PA=PB=PC，D为斜边AB的中点，求证：PD⊥平面ABC.

例2、AD为△ABC中BC边上的高，在AD上取一点E，使AE=DE，过E点作直线MN∥BC，交AB于M，交AC于A

C N A E 12D M B

N，现将△AMN沿MN折起，这时A点到A点的位置，且AED=60，求证：AE⊥平面ABC.

例3、如图，在ABC中，ABC=90，SA平面ABC，S AMSB于M，ANSC于N.求证：MNSC C M B N

A

*例4、（提高题）如图，已知直三棱柱ABC-ABC中，BC=AC，AB⊥AC，

A 求证：AB⊥BC. C

B A

B

C

四、反馈练习

1、若两直线a⊥b，且a⊥平面，则b与的位置关系是（

）

A、相交 B、b∥ C、b D、b∥，或b

2、下列命题中正确的是（

）

A、过平面外一点作这个平面的垂面有且只有一个

B、过直线外一点作这条直线的平行平面有且只有一

个

C、过直线外一点作这条直线的垂线有且只有一条

D、过平面外的一条斜线作这个平面的垂面有且只有一个

3、给出下列命题：

①若平面α的两条斜线段PA、PB在α内的射影长相等，那么PA、PB的长度相等；

②已知PO是平面α的斜线段，AO是PO在平面α内的射影，若OQ⊥OP，则必有OQ⊥OA；

③与两条异面直线都平行的平面有且只有一个；

④平面α内有两条直线a、b都与另一个平面β平行，则α∥β．

上述命题中不正确的命题是

（ ）

A、①②③④ B、①②③ C、①③④ D、②③④

4、在正方体中，与正方体的一条对角线垂直的各面上的对角线的条数是_________. 5、如图ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAD是等腰三角形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MN平面PCD

P N D A M B C 6、已知∩=EF，由点A向平面、分别作垂线AB、AC，垂足分别为B、C，又由C向平面作垂线CD，垂足为D，求证：BD⊥EF.