小结课堂实录及点评

数学选修1-1 第二章 小结（3）

——与抛物线有关的最值问题

教材分析

本节课所用教材是普通高中课程标准实验教科书人教A版数学选修1-1，授课内容是第二章

圆锥曲线与方程——小结.教科书首先给出了本章知识结构，然后回顾了圆锥曲线概念的来源，研究方法的变迁，还重点归纳了椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、简单性质.考虑到研究椭圆和双曲线方法的相似性，而研究抛物线的方法相对独立，故本节内容的教学安排3课时.第1课时，在总体把握本章知识结构，第2课时复习与椭圆与双曲线有关的典型问题，第3课时以抛物线的定义为知识载体，归纳解决与抛物线有关的最值问题的基本题型及其解法.本节课为第3课时. 学情分析

学生曾经在必修2中学习过直线与圆的方程，近期又在选修1-1中学习过圆锥曲线与方程，对利用坐标法研究曲线已比较熟悉，为本节课的学习做了知识储备.另一方面，学生对解决圆锥曲线中的最值问题未作过专题复习，缺少研究最值问题的思路与经验，本节内容对学生数学素养的要求还是比较高的.

教学目标

[知识与技能目标]

1.进一步掌握抛物线的定义. 2.能利用抛物线的定义将两点间的距离与点线距之间进行转化.

[过程和方法目标] 3.通过探究用几何方法求最值的基本途径，培养学生逻辑推理、直观想象、数学运算等数学素养.

[情感与态度目标] 4.养成善于思考、积极探索、严谨求实的科学精神. 5.感受信息技术在展示数学内容、进行数学计算、探究数学规律中的作用.

教学重点

探究解决与抛物线有关的最值问题的基本途径

教学难点

解决与抛物线有关的最值问题时是否需要利用定义进行转化（预设的教学难点）.

教学方法

问题教学法、直观演示法.

教学用具

多媒体课件（PPT课件、几何画板）、希沃授课系统.

授课类型

复习课

教学过程

教学

环节

前

置

检

测

教 学 内 容

1.已知点P(2,t)是抛物线y24x上的一点,师

生

活

动

设

计

意

图

通过具体问题，回顾前置知识，设计最近发现区，为探究环节提供知识保障与思维方法.

1.教师指出教学内容，并板书课题. 点F为该抛物线的焦点，求PF.2.教师投影展示问 知识回顾：设P(x0,y0)是抛物线y22px上的一点,题，学生思考并回答，教师点评. p点F为抛物线y22px的焦点，则PF=x0.2

2.已知点P是抛物线y24x上的一动点,点F为该

抛物线的焦点，Q(0，1),求PFPQ的最小值.

知识回顾：两点之间线段最短.

前

置

检

测

3.已知点P是抛物线y24x上的一动点,点F为该抛物线的焦点，M(2，1),过点P作PQ垂直于y轴于Q，求PMPQ的最小值. 知识回顾：点与直线上所有点的连线中垂线段最短.

Q(-3，-1),求PQ的最小值和最大值. 4.已知点P是圆(x1)2(y2)24上的一动点, 知识回顾：设P是圆C上的一点,Q为圆C外一点，记QC=d,圆C的半径为r,则PQmin=dr,PQmax=dr. 5.已知点F为抛物线y24x的焦点，弦AB经过点F,求ABmin.

教师多媒体展示问题

学生自主探究问题

师生互动释疑

教师用几何画板动态演示

授课内容以问题的形式呈现在学生的面前，让学生在寻求，探索解决问题的思维活动中，掌握知识、发展智力、培养技能，从而提升数学素养.

通过教师动态演示，提升学生的直观想象素养.

通过对比分析，提升思维的深度，

提高学生的逻辑思维能力.

知识回顾：抛物线中通经是最短的焦点弦，其长度为2p.

典

例

分

析

角度一：到焦点距离最小问题

例1．已知点P是抛物线y2＝4x上任意一点，点F是该抛物线的焦点，则|PF|的最小值为________．

角度二：到焦点与定点距离之和最小问题

例2.（2018赣州模拟）若点A的坐标为（3,2），F是抛物线y2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使MFMA取得最小值的M的坐标为（

）

211)

A.(0，0)

B.(，22)

C.(1，2)

D.(2，角度三：到定点与定直线距离之和最小问题

例3.已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则2)的距离与点P到该抛物线准线的距离点P到点Q(0，之和的最小值为（

）

A.917

B.3

C.5

D.

22变式：已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，2)的距离与点P到直线x1距离之则点P到点Q(0，和的最小值为

. 思考：对比前置检测第2题、第3题以及角度二、角度三共4道题，在求线段和最小值时，一般什么时候需要转化，转化的方向如何确定？

角度四：到焦点与动点距离之和最小问题

例4.（2018邢台模拟）已知M是抛物线x2＝4y

2

典

例

分

析

拓

展

演

练

提

炼

升

华

上一点，F为其焦点，点A在圆C:(x1)2(y5)21上，则MAMF的最小值是

. 角度五：焦点弦中距离之和最小问题

例5.已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点，过A,B分别作y轴的垂线，垂足分别为C,D,则ACBD的最小值为

. 抛物线y＝-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是（

）

学生自主解答

教师反馈矫正

通过针对性题型训练，将知识转化为技能. 让学生学会自我梳理知识. 478A.

B.

C.

D.3

3551.用几何方法求距离和的最小值时，一般都转化为什么问题而求解？

2. 一般是依据什么转化的？

我们发现有些题需要将两点间的距离转化为点线距，有些题需要将点线距转化为两点间的距离，还有些题，无需转化便可求解，那么转化的方向是什么？

3. 如果问题中有两个动点，该怎么办？

学生小结

教师补充

布置《课堂跟踪检测》P277

作业

必做：第5、6、7、9题；

选做：第8、10、11、12题

教师投影展示

学生标记作业

充分考虑到学生差异，分层布置，分层发展. 板书设计

与抛物线有关的最值问题

前置检测1图 焦半径公式

前置检测2图 两点之间线段最短

前置检测3图 垂线段最短

前置检测4图 PQmindr，PQmaxdr

前置检测5图 焦点弦长min通径长2p

例2图 例3图

课后反思

1.对章末复习课内容安排的反思：章末复习课是不是一定要构建知识网络，归纳知识要点，整理基本题型及其解法？这些环节固然重要，可用1课时时间来做，也可由学生自主完成.但我认为数学教学要注重数学实质，就本章教学的重难点设计一堂专题复习课，让学生学会从数学的角度思考问题，抓住数学的实质，提升数学学科素养.本节课以求线段和的最小值为纽带组织教学内容，探究了求线段和的最小值的基本方法是函数思想与几何方法，其中几何方法是将问题转化为已经证明的几个重要结论.在解决问题的过程中，让学生体会到了超越于具体问题的数学实质：两点之间线段最段、点到直线上所有点的连线中垂线段最短.

2.对于动态过程中的最值问题，如果只靠凭空想象，势必增加学生的思维难度.本节课利用几何画板动态展示了随着动点的运动相关线段和的变化情况，有效提升了学生的直观形象素养.

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