4.3.2 空间两点间的距离公式主要内容及教案内容

4.3.2 空间两点间的距离公式教学设计

（一）教学目标

1．知识与技能：

使学生掌握空间两点间的距离公式2．过程与方法由平面上两点间的距离公式，引入空间两点距离公式的猜想

先推导特殊情况下空间两点间的距离公式

推导一般情况下的空间两点间的距离公式

（二）教学重点、难点

重点：空间两点间的距离公式；难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。（三）教学设计

教学环节

教学内容

在平面上任意两点A

(x1，y1)，B

(x2，y2)之间的距离的公式为|AB| 复习引入

=(x1x2)2(y1y2)2，那么对于空间中任意两点A (x1，y1，z1)，B (x2，y2，z2)之间的距离的公式会是怎样呢？你猜猜？

（2）空间中任一点P (x，y，z)到原点之间的距离公式会是怎样呢？师生互动

设计意图

师：只需引导学生大胆猜测，是否正确无关紧要。生：踊跃回答

通过类比，充分发挥学生的联想能力。

概念形成

师：为了验证一下同学们的猜想，我们来看比较特殊的情况，引导学生用勾股定理来完成学生：在教师的指导下作答得出

从特殊的情况入手，化解难度

|OP| =x2y2z2.

任何知识的猜想都要建立在学生原有知识经验师：注意引导类比平面直角坐标系中，的基础上，学生方程x2 + y2 = r2表示的图形中，方程x2 + 可以通过类比在y2 = r2表示图形，让学生有种回归感。平面直角系中，生：猜想说出理由

方程x2

+ y2

= r2表示原点或圆，得到知识上的升（3）如果|OP| 是定长r，那么x2

概念深化

+ y2 + z2 = r2表示什么图形？

华，提高学习的兴趣。

（4）如果是空间中任间一点P1 (x1，y1，z1)到点P2 (x2，y2，z2)之间的距离公式是怎样呢？师生：一起推导，但是在推导的过程中要重视学生思路的引导。得出结论：|P1P2| =(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2

人的认识是从特殊情况到一般情况的

例1 在空间中，已知点A(1, 0,

例2【解析】由题意设A(0，y，0)，

-1)，B (4, 3, -1)，求A、B两点之2则(y1)45，

间的距离.

解得：y = 0或y = 2，故点A的坐标是例2

已知点A在y轴

，点B(0，(0，0，0)或(0，2，0) 1，2)且|AB|5，则点A的坐标为

. 例3：解:如图所示,分别以AB,AD,AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 由题意可知C(3,3,0),D(0,3,0), ∵|DD1|=|CC1|=|AA1|=2, ∴C1(3,3,2),D1(0,3,2), 3∵N为CD1的中点,∴N,3,1.M是AC211

经典

例题

空间两点间的距离

【例3】

如图所示,在长方体ABCD A1B1C1D1中,|AB|=|AD|=3,|AA1|=2,点M在A1C1上,|MC1|=2|A1M|,N在D1C上且为D1C中点,求M、N两点间的距离.

的三分之一分点且靠近A1点,

∴M(1,1,2).由两点间距离公式,得

322|MN|=13112错误！未找到22培养学生直接利用公式解决问题能力，进一步加深理解

引用源。

=错误！未找到引用源。.

1．先在空间直角坐标系中标出A、B两点，再求它们之间的距离：教师引导学生作答

1．解析（1）6，图略

（2）70，图略

2．解：设点M的坐标是(0，0，z). 依题意，得

巩固

练习

1）A(2，3，5)，B(3，1，4)；

(01)20(z2)2= 2）A(6，0，1)，B(3，5，7)

(01)2(03)2(z1)2. 2．在z轴上求一点M，使点M到点A(1，0，2)与点B(1，–3，解得z = –3. 1)的距离相等. 所求点M的坐标是(0，0，–3).

3．证明：根据空间两点间距离公式，3．求证：以A(10，–1，6)，得

B(4，1，9)，C(2，4，3)三点为顶

|AB|(104)2(11)2(69)27

点的三角形是等腰三角形. 巩固深化所学知

识

|BC|(42)2(14)2(93)27，

|AC|(102)2(14)2(63)298.

因为7+7＞98，且|AB| = |BC|，所以△

ABC是等腰三角形. 4．如图，正方体OABD

–

4．解：由已知，得点N的坐标为

D′A′B′C′的棱长为a，|AN| = 2|CN|，a2a(,,0)，

33|BM| = 2|MC′|.求MN的长. a2a点M的坐标为(,a,)，于是

33aa2a2a|MN|()2(a)2(0)233335a.3

（四）

课堂小结

（1）

空间两点间的距离公式是什么？

（2）

空间中到定点的距离等于定长的点得轨迹是什么？

（3）

如何利用坐标法来解决一些几何问题？

第二步：进行有关代数

第一步；建立坐标系，

运算

用坐标系表示有关的量

第三步：把代数运算结果

“翻译”成几何关系

（五）作业

课本习题4.3

A组6、7、8；B组6.

（六）教学理念

通过本节课的教学，教师应引导学生学会思考、尝试、猜想、证明、归纳.这样更有利于学生掌握知识.为了加深知识理解、掌握和运用所学知识去主动地发现问题、解决问题，从而更系统地掌握所学知识，形成新的认知结构和知识网络，让学生真正地体会到在问题的解决中学习，在交流中学习.本节课处理过程力求达到解决如下问题：知识是如何产生的？又如何从实际问题抽象成为数学问题，并赋予抽象的数学符号和表达式？如何反映生活中客观事物之间简单的和谐关系？特点：以知识为载体，思维为主线，能力为目标的设计原则，突出多媒体这一教学技术手段在本节课辅助知识产生、发展和突破重难点的优势.