1.4.1 全称量词优质课一等奖

1．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断

p 真

真

假

假

2.全称量词和存在量词

量词名词

全称量词

存在量词

常见量词

所有、一切、任意、全部、每一个、任给等

存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等

表示符号

∀

∃

q 真

假

真

假

p∧q 真

假

假

假

p∨q 真

真

真

假

綈p

假

假

真

真

3.全称命题和特称命题

命题名称

全称命题

特称命题

命题结构

对M中任意一个x，有p(x)成立

存在M中的一个x0，使p(x0)成立

命题简记

∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，p(x0) 4.含有一个量词的命题的否定

命题

∀x∈M，p(x)

∃x0∈M，p(x0)

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题．(

×

) 命题的否定

∃x0∈M，綈p(x0) ∀x∈M，綈p(x)

(2)命题p和綈p不可能都是真命题．(

√

) (3)若命题p、q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．(

√

) (4)全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量词．(

×

) (5)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．(

√

) (6)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．(

√

)

1．设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是(

) A．p∨q

C．(綈p)∧(綈q)

答案

A 解析

由题意知命题p为假命题，命题q为真命题，所以p∨q为真命题．故选A. 2．已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是(

) A．p∧(綈q)

C．(綈p)∧(綈q)

答案

A 解析

由题意知，命题p为真命题，命题q为假命题，故綈q为真命题，所以p∧(綈q)为真命题．

3．(2015·浙江)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(

) A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)＞n

B．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞n

C．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)＞n0

D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)＞n0

答案

D 解析

写全称命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．故选D. π0，，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．

4．(2015·山东)若“∀x∈4答案

1 ππ0，上是增函数，∴ymax＝tan ＝1.依题意，m≥ymax，即m≥1. 解析

∵函数y＝tan x在44∴m的最小值为1. 5．(教材改编)给出下列命题：

B．(綈p)∧q

D．p∧q

B．p∧q

D．p∨(綈q)

①∀x∈N，x3>x2；

②所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；

③∃x0∈R，x20－x0＋1≤0；

④存在一个四边形，它的对角线互相垂直．

则以上命题的否定中，真命题的序号为________．

答案

①②③

题型一

含有逻辑联结词的命题的真假判断

例1

(1)已知命题p：m，n为直线，α为平面，若m∥n，n⊂α，则m∥α，命题q：若a>b，则ac>bc，则下列命题为真命题的是(

) A．p∨q

C．綈p∧q

B．綈p∨q

D．p∧q

(2)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是(

) A．①③

C．②③

答案

(1)B

(2)C 解析

(1)命题q：若a>b，则ac>bc为假命题，命题p：m，n为直线，α为平面，若m∥n，n⊂α，则m∥α也为假命题，因此只有“綈p∨q”为真命题．

(2)当x>y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题．

当x>y时，x2>y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题．

由真值表知：①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧(綈q)为真命题；④(綈p)∨q为假命题．故选C. 思维升华

“p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤：

(1)确定命题的构成形式；

(2)判断其中命题p、q的真假；

(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假．

(1)已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是(

) A．p∧q

C．(綈p)∧q

B．(綈p)∧(綈q) D．p∧(綈q) B．①④

D．②④

b(2)若命题p：关于x的不等式ax＋b>0的解集是{x|x>－}，命题q：关于x的不等式(x－a)(xa－b)<0的解集是{x|a

答案

(1)D

(2)綈p、綈q

解析

(1)p为真命题，q为假命题，故綈p为假命题，綈q为真命题．从而p∧q为假，(綈p)∧(綈q)为假，(綈p)∧q为假，p∧(綈q)为真，故选D. (2)依题意可知命题p和q都是假命题，所以“p∧q”为假、“p∨q”为假，“

綈p”为真、“綈q”为真．

题型二

含有一个量词的命题

命题点1

全称命题、特称命题的真假

例2

(1)下列命题中，为真命题的是(

) A．∀x∈R，x2>0

C．∃x0∈R,20

<0

(2)下列四个命题

1x01x0p1：∃x0∈(0，＋∞)，2<3；

p2：∃x0∈(0,1)，log1x0>log1x0；

23xB．∀x∈R，－1log1x；

2110，，x

) A．p1，p3

C．p2，p3

答案

(1)D

(2)D 解析

(1)∀x∈R，x2≥0，故A错；∀x∈R，－1≤sin x≤1，故B错；∀x∈R,2x>0，故C错，故选D. B．p1，p4

D．p2，p4

1x>1x，(2)根据幂函数的性质，对∀x∈(0，＋∞)，由于log1x－log1x23故命题p1是假命题；23＝lg xlg 2－lg 3lg xlg x－＝，故对∀x∈(0,1)，loglg 2lg 3－lg 2－lg 312x>log13x，所以∃x0∈(0,1)，11110，时，0<x<1，logx>1，故x>log1x不成log1x0>log1x0，命题p2是真命题；当x∈2222232

1110，，0<x<1，log1x>1，故x

32233故p2，p4为真命题．

命题点2

含一个量词的命题的否定

例3

(1)命题“存在实数x，使x>1”的否定是(

) A．对任意实数x，都有x>1 B．不存在实数x，使x≤1 C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤1 (2)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则綈p为：______________. 答案

(1)C

(2)∃x0∈A,2x0∉B

解析

(1)利用特称命题的否定是全称命题求解，“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．故选C. (2)命题p：∀x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定应为特称命题．

∴綈p：∃x0∈A,2x0∉B. 思维升华

(1)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x＝x0，使p(x0)成立．

(2)对全(特)称命题进行否定的方法

①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词．

②对原命题的结论进行否定．

(1)下列命题中的真命题是(

) 3A．∃x∈R，使得sin x＋cos x＝

2B．∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1 C．∃x∈(－∞，0)，2x<3x

D．∀x∈(0，π)，sin x>cos x

(2)(2015·课标全国Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为(

) A．∀n∈N，n2>2n

C．∀n∈N，n2≤2n

答案

(1)B

(2)C π3解析

(1)因为sin x＋cos x＝2sin(x＋)≤2<，故A错误；当x<0时，y＝2x的图象在y＝42B．∃n∈N，n2≤2n

D．∃n∈N，n2＝2n

π3x的图象上方，故C错误；因为x∈(0，)时有sin x2n”改为“n2≤2n”．

题型三

由命题的真假求参数的取值范围

例4

已知p：∃x∈R，mx2＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为(

) A．m≥2

C．m≤－2或m≥2

答案

A 解析

依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；

当q是真命题时，则有Δ＝m2－4<0，－2

m≥0，即m≥2. m≤－2或m≥2B．m≤－2 D．－2≤m≤2

引申探究

1．本例条件不变，若p∧q为真，则实数m的取值范围为________．

答案

(－2,0) 解析

依题意，当p是真命题时，有m<0；

当q是真命题时，有－2

m<0，由可得－2

2．本例条件不变，若p∧q为假，p∨q为真，则实数m的取值范围为________________．

答案

(－∞，－2]∪[0,2) 解析

若p∧q为假，p∨q为真，则p、q一真一假．

m<0，当p真q假时

∴m≤－2；

m≥2或m≤－2，m≥0，当p假q真时

∴0≤m<2. －2

∴m的取值范围是(－∞，－2]∪[0,2)．

3．本例中的条件q变为q：∃x∈R，x2＋mx＋1<0，其他不变，则实数m的取值范围为________．

答案

[0,2]

解析

依题意，当q是真命题时，Δ＝m2－4>0，

∴m>2或m<－2.

m≥0，由得0≤m≤2，

－2≤m≤2

∴m的取值范围是[0,2]．

思维升华

根据命题真假求参数的方法步骤

(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；

(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；

(3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．

(1)已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是(

) A．{a|a≤－2或a＝1} B．{a|a≥1} C．{a|a≤－2或1≤a≤2} D．{a|－2≤a≤1} (2)命题“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围为________．

答案

(1)A

(2)[－22，22] 解析

(1)∵“p且q”为真命题，∴p、q均为真命题，

∴p：a≤1，q：a≤－2或a≥1，

∴a≤－2或a＝1. (2)因题中的命题为假命题，则它的否定“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，因此只需Δ＝9a2－4×2×9≤0，即－22≤a≤22.

1．常用逻辑用语及其应用

一、命题的真假判断

典例1

已知命题p：∃x∈R，x2＋1<2x；命题q：若mx2－mx－1<0恒成立，则－4

) A．“綈p”是假命题

B．q是真命题

C．“p或q”为假命题

D．“p且q”为真命题

解析

由于x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，

即x2＋1≥2x，所以p为假命题；

对于命题q，当m＝0时，有－1<0，恒成立，

所以命题q为假命题．

综上可知：綈p为真命题，

p且q为假命题，p或q为假命题，故选C. 答案

C 温馨提醒

判断与一元二次不等式有关命题的真假，首先要分清是要求解一元二次不等式，还是要求一元二次不等式恒成立(有解、无解)，然后再利用逻辑用语进行判断．

二、求参数的取值范围

典例2

已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”；命题q：“∃x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．

解析

若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由∀x∈[0,1]，a≥ex，得a≥e；由∃x∈R，使x2＋4x＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4. 答案

[e,4]

温馨提醒

含逻辑联结词的命题的真假要转化为简单命题的真假，解题时要首先考虑简单命题为真时参数的范围．

三、利用逻辑推理解决实际问题

典例3

(1)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，

甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；

乙说：我没去过C城市；

丙说：我们三人去过同一城市．

由此可判断乙去过的城市为________．

(2)对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：

甲：中国非第一名，也非第二名；

乙：中国非第一名，而是第三名；

丙：中国非第三名，而是第一名．

竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名．

解析

(1)由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A. (2)由上可知：甲、乙、丙均为“p且q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名．

答案

(1)A

(2)一

温馨提醒

在一些逻辑问题中，当字面上并未出现

“或”“且”“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题．

[方法与技巧]

1．把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”、“且”时，要结合语句的含义理解．

2．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律是“改量词，否结论”．

[失误与防范]

1．p∨q为真命题，只需p、q有一个为真即可；p∧q为真命题，必须p、q同时为真．

2．两种形式命题的否定

p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q. 3．命题的否定与否命题

“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．