3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教学设计实例

人教A版必修二《3.1.1直线的倾斜角与斜率》教学设计

石河子二中 张丽

三维目标

1.知识与技能：

（1）通过实例，了解倾斜角与斜率的几何意义；

（2）理解倾斜角与斜率的联系；

（3）会用倾斜角与斜率的联系解决实际问题. 2.过程与方法：通过实例初步了解概念，通过探究深入理解概念的实质，关键是要培养学生分析问题、解决问题和转化问题的能力. 3.情感态度价值观：

（1）倾斜角与斜率的核心问题是让学生学会转化思想，灵活应用所学知识，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些现象；

（2）用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。培养学生掌握“理论来源于实践，并把理论应用于实践”的辨证思想

重点难点

1.教学重点：理解倾斜角与斜率的联系

2.教学难点：利用倾斜角与斜率的联系解决实际问题. 学情分析

学生初中时了解了平面内确定直线的方法，高中学习了特殊角的三角函数值、正切函数的图像和性质，有一定的知识储备，“从形到数”的探究方式也能顺利过度，学生思维活跃，能进行主动探究讨论。但根据学生的认知规律，还没有形成自觉地把数学问题抽象化的能力。所以在教学设计时如何找到学生的最近发展区进行探究学习，尽量让不同层次的学生都经历概念的形成、发展和应用过程，就成为教学的一个重要问题。

教学策略与方法

1.教学方法：启发讲授式与问题探究式．

教学过程：

（一）创设情境，揭示课题

问题1、过这两点可作什么图形？唯一吗？只经过其中一点（如点P）可作多少条直线？若只想定出其中的一条直线，除了再用一点外，还有其他方法吗？可以增加一个什么样的几何量？

由此引导学生归纳，确定直线位置可有两种方式

1

（1）已知直线上两点

（2）已知直线上一点和直线的倾斜程度

问题2、角的形成还需一条线，也就是说要有刻画倾斜程度的角，就必须还有一条形成角的参照的直线。在平面直角坐标系下，以哪条轴线为基准形成刻画倾斜程度的角？（学生可能回答x轴或y轴）

以x轴或y轴为基准都可以，习惯上我们用x轴。

<设计意图>引入刻画直线倾斜程度的量，一步步引导学生说出倾斜角。

1、

倾斜角的定义：

在平面直角坐标系中，以x轴为基准，当直线l与x轴相交时，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角，叫做直线l的倾斜角。

ylPOx 学生练习画出过点P的各种倾斜角的直线。

学生容易忽略与x轴平行的直线，补出该图，问倾斜角在哪儿？如何规定？

规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为00。

自然有倾斜角的范围是[00,1800) 这样平面直角坐标系中每条直线都有唯一一个确定的倾斜角与它对应。

倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等。

以上定义了一个从“形”的角度用倾斜角刻画平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度。

2、

试一试

2

<设计意图>熟悉倾斜角的概念，会找出直线的倾斜角。

（二）巩固旧知，同化新知

生活中，我们都有过爬山、爬坡的体验，对于斜坡的倾斜程度，可以用什么量来反映？（坡角与坡度）

初中对坡度是如何定义的？ 坡度(比)升高量

（即坡角的正切值）

前进量坡角、坡度都能反映倾斜程度，迁移到数学中，坡角相当于直线的倾斜角，而坡度则对应于直线的斜率。

3、

斜率：倾斜角不是900的直线，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。即ktan(90)

4、试一试

<设计意图>牢记常见倾斜角的直线斜率，加深记忆倾斜角和斜率的联系。

问题3、当在[00,1800)内变化时，斜率k如何变化？

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<设计意图>联系正切函数的图像，体会倾斜角的变化对斜率大小的影响。

问题4、倾斜角与斜率都能刻画直线的倾斜程度，哪个量更优越呢？

倾斜角能从形的角度刻画倾斜程度，而斜率是比值，实质是数值，它能从数的角度反映倾斜的程度，显然用斜率更细致入微些。

5、试一试

<设计意图>加深对直线的倾斜角的变化对直线斜率的影响，数形结合，熟练数与形的相互转换。

（三）尝试推导，深化认识

两点确定一条直线，可见由两点也就确定了直线的倾斜程度，即倾斜角与斜率。看来，直线上两点与直线的斜率有着密不可分的联系。

问题8、在平面直角坐标系中，已知直线上两点P1,P2的1(x1,y1)，P2(x2,y2)且x1x2，能否用P坐标来表示直线斜率k？

（学生活动）：随意在坐标系下画两点P1,P2及直线PP12，探究各种图形并尝试推导，可以先特殊再一般，也可先一般再特殊地去分析。教师可适当引导其将斜坡截面图迁移到坐标系中，类似升高量，前进量，用点的坐标表示线段长，并请同学叙述各个图的推导过程与结果。

0解：设直线PP12倾斜角为（90）当直线PP12方向向上时，过点P1作x轴的平行线，过点P2作y轴的平行线，两线交于点Q，则点Q为(x2,y1)

（1）当为锐角时，QP1P2，x1x2，y1y2，在RtP1P2Q中，

tantanQP1P2QP2P1Qy2y1

x2x1（2）当为钝角时，180（设QP，x1x2，y1y2

1P2=）tan=tan(180)tan，在l1,l2RtP1P2Q中，

tanQP2QP1y2y1yy1yy12（可让学生分组推导）

tan2x2x1x2x1x2x1同理，当直线P2P1方向向上时，无论为锐角或钝角，也有tanyy1y2y1，即k2

x2x1x2x1

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思考：1、已知直线上两点，运用上述公式计算直线斜率时，与两点坐标的顺序有关吗？

2、当直线平行于y 轴，或与y 轴重合时，上述斜率公式还适用吗？为什么？

3、当直线与x轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？

<设计意图>通过集体推导分析，得出经过两点的直线斜率公式，思考题能加深公式的认识和使用的前提条件。

（四）例题巩固

例1：已知A (3 , 2) , B (– 4 , 1) , C (0 , – 1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角。<学生板演>

分析：kAB11，其倾斜角为锐角；kBC，其倾斜角为钝角；kAC1，72其倾斜角为锐角。

例

<设计意图>熟悉两点的直线斜率公式，并学会运用斜率大小判断倾斜角范围。

（五）课堂练习：

1．若过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是(

) A. (－2,1) B. (－1,2) C. (－∞，0) D. (－∞，－2)∪(1，＋∞)

2．直线x＝－1的倾斜角和斜率分别是(

) A. 45°，1 B. 135°，－1 C. 90°，不存在 D. 180°，不存在

3．以下两点确定的直线的斜率不存在的是（ ）．

A. 与 B.

2：

与 C. 与 D. 与

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4．过两点A4,y,B2,3的直线的倾斜角为45，则y（ ）

A. 332 B. 2 C. 1 D. 1 5．已知点，，则直线的斜率是_____．

<设计意图>熟练运用直线的倾斜角，斜率的公式，并会在具体的直线中找出相关量，熟悉解题过程。

（六）课后探究

<设计意图>第二课时的重点、难点，能够根据直线的倾斜角和斜率的关系，通过其中一个的范围找出另一个的范围，实现数与形的等价转换。

（七）归纳小结：<学生谈收获> （1）直线的倾斜角和斜率的概念；

ktan（2）直线的斜率公式：y2y1(x1x2)x2x1。

（八）作业：课本P89，习题3.1 [A组] 第2，3，4题。

（九）板书设计：

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