复习参考题教学实录与评析

《立体几何》专题复习教学设计

云南省大姚县第一中学 周文武

考情概述:立体几何是历年高考必考的热点,试题难度中等,命题的热点主要有空间线面位置关系的证明和空间角的求解;试题背景有折叠问题,探索性问题等,考查了学生的空间想象能力、逻辑思维能力以及转化与化归思想的应用能力,解决此类问题一般有传统方法和向量方法,用向量法解决问题可以化繁为简,降低题目的难度. 一、

考试大纲要求：

1、

立体几何初步

（1）、空间几何体

a.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构

b.能画出简单空间图形的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图； c.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；

d.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。

（2）、点、线、面之间的位置关系

a.理解空间直线、平面位置关系的定义；

b.以立体几何的相关定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理；

c.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。

2、空间向量与立体几何

（1）、空间向量及其运算

a.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；

b.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；

c.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

（2）、空间向量的应用

a.理解直线的方向向量与平面的法向量；

b.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系；

c.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理；

d.能用向量方法解决线线角、线面角、面面角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。

1

二、近五年全国二卷各年的考查分值

题型

小题

大题

2011年

2题 10分

1题 12分

2012年

2013年

2014年

2015年

2题 10分

2题 10分

2题 10分

2题 10分

1题 12分

1题 12分

1题 12分

1题 12分

第一课时：向量方法证明空间平行、垂直关系

一、【能力发展目标】：

1、通过课前复习能准确说出，直线与平面，平面与平面平行的判定方法及其性质。能用三种语言归纳总结出直线、平面垂直的判定及其性质定理。

2、通过前备知识复习能说出直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法。

3、通过独立思考、小组合作交流与展示学习标杆题、并反思解决标杆题的思路与方法，熟练掌握线面平行、垂直，面面平行、垂直的证明方法。

4、通过本节复习培养学生空间想象、逻辑推理、分析问题解决问题能力。

二、【预习提纲】：

1、阅读课本必修（2）54页----60页及查阅资料，用三种语言归纳总结出直线、平面平行的判定及其性质定理。

2、结合空间向量立体几何选修部分，证明线面平行、面面平行还有哪些方法？

3、阅读课本必修（2）６4页----７２页及查阅资料，用三种语言归纳总结出直线、平面垂直的判定及其性质定理

4、结合空间向量立体几何选修部分，证明线面垂直、面面垂直还有哪些方法？ 三、【前备知识复习】

1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法

设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1).平面α,β的法向量分别为μ=(a2,b2,c2),v=(a3,b3,c3). (1)线面平行

l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0 (2)线面垂直

l⊥α⇔a∥μ⇔a=kμ⇔a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2. (3)面面平行

α∥β⇔μ∥v⇔μ=λv⇔a2=λa3,b2=λb3,c2=λc3. 2

(4)面面垂直

α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v=0⇔a2a3+b2b3+c2c3=0. 四、（预习检测）

1.若直线l∥平面α,直线l的方向向量为s、平面α的法向量为n,则下列结论正确的是(

) (A)s=(-1,0,2),n=(1,0,-1) (B)s=(-1,0,1),n=(1,2,-1) (C)s=(-1,1,1),n=(1,2,-1) (D)s=(-1,1,1),n=(-2,2,2) 2.(2014平顶山一摸)若平面α、β的法向量分别为n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则(

) (A)α∥β (B)α⊥β

(C)α、β相交但不垂直 (D)以上均不正确

五、展示标杆题

【标杆题】

(1)如图是一个直三棱柱(以A1B1C1为底面)被一平面所截得到的几何体,截面为ABC.已知A1B1=B1C1=1,∠A1B1C1=90°,AA1=4,BB1=2,CC1=3.设点O是AB的中点,证明:OC∥平面A1B1C1.(注:侧棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱) (2)如图,正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1中点. 求证:AB1⊥平面A1BD.

活动要求：

1、审题，寻找出重要的解题条件，要解决什么问题？又如何解决问题？除了几何法以外你还有什么方法？

2、寻找解题的思路，动手组织答案。注意推理的格式书写。学生两人板演，其余独立完成。结束后总结。

3、注意解题、证明的书写。

反思归纳 (1)向量方法证明空间平行关系的基本途径是: ①线线平行:直线与直线平行,只要证明它们的方向向量平行. ②线面平行: a.用线面平行的判定定理,证明直线的方向向量与平面内一条直线的方向向量平行; b.证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. 3

③面面平行:平面与平面的平行,除了用面面平行的判定定理转化为线面平行外,只要证明两平面的法向量平行即可. (2)向量方法证明空间垂直关系的基本途径是: ①线线垂直:直线与直线的垂直,只要证明两直线的方向向量垂直. ②线面垂直: a.用线面垂直的定义,证明直线的方向向量与平面内的任意一条直线的方向向量垂直; b.用线面垂直的判定定理,证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直; c.证明直线的方向向量与平面的法向量平行. ③面面垂直:平面与平面的垂直,除了用面面垂直的判定定理转化为线面垂直外,只要证明两平面的法向量垂直即可. 六、出示类比题

【类比题】 (1)已知正方体AC1的棱长为1,E、F、G分别为AB、AD、AA1的中点,求证:平面EFG∥平面B1CD1. (2)在正方体ABCDA1B1C1D1中,G为CC1的中点, 求证:平面A1BD⊥平面GBD. 活动要求：

1、类比标杆题，寻找解题的思路？ 2、5分钟后抽学生口述解题的思路与方法。

3.动手解决问题。学生两人板演，其余独立完成。

4、以小组为单位总结解题的思路？

七、课堂小结

1、本节学习了哪些知识? 2、你有哪些收获？

4