第四章 圆与方程（通用）特级教师教学实录

课题：与圆有关的轨迹方程求解方法

刘

玉

[来源:学科网]

倩

东莞市东华高级中学

课题：与圆有关的轨迹方程求解方法

授课教师：刘玉倩 东莞市东华高级中学

课

型：专题课

教学目标：

（1）

知识与技能目标：使学生了解并掌握多种求轨迹方程的方法，并且培养发散思维能力，能针对一道题用多种方法求解；

（2）

过程与方法目标：通过对一系列例题的分析，以及对一道题目的多种解题方法的分析，让学生对这一类问题有更为清晰的思路，培养学生观察、归纳能力； （3）

情感、态度与价值观目标：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、积极探索的良好思维习惯，。

教学重点：掌握与圆有关的轨迹方程的多种求解方法.

教学难点：引导学生灵活运用多种方式求解轨迹方程，并在以后的解题过程中能选择较合适的方法解决轨迹问题. 教学过程：

(一)

课前抢答，活跃气氛

上课之后先带学生进行一个课前练习，题目是圆方面的简单题目：

1.点P(m2,5)与圆x2y224的位置关系是？

2.圆心在原点且与直线xy20相切的圆的方程为？

3.圆(x2)2(y2)24上有几个点到直线x1的距离为1？

4.圆(x2)2(y2)24与圆(x5)2y21的公切线有几条？

游戏规则如下：

1.题目在PPT上呈现之后即可动笔算；

2.老师根据题目难易程度决定何时按铃，铃响之后学生即可抢答；

3.抢答以小组为单位，最快举起组牌的小组获得抢答机会；

4.每道题只有一次抢答机会，如回答正确则加5分，回答错误扣2分。

设计意图：该游戏环节能让学生在课程开始时就活跃起来，尽快进入学习状态，同时通过这几道题目也能让学生达到复习圆的基本知识的目的。

(二)

巩固旧知，引入课题

在之前圆的一般方程的新课当中，我已带领学生了解了求解与圆有关的轨迹方程的几种方法：定义法、直接法、相关点法，并且通过简单例题让学生对这几种方法有了基本的掌握。

因此，我在上课前一天给学生布置了一道作业题，让学生在练习本上完成：

练习

等腰三角形的顶点为A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么. 解（定义法）：设另一个端点C的坐标为(x,y)

ACAB10依题意，

所以轨迹是以点A(4,2)为圆心，以10为半径的圆

(x4)2(y2)210

又因为A、B、C为三角形的三个顶点

所以A、B、C三点不共线且B、C不重合

所以点C不能为(3,5)

又因为B、C不能为一直径的两个端点

x3y54,22所以2

即点C不能为(5,1)

所以轨迹是以点A(4,2)圆心，以10为半径的圆，但除去(3,5)，(5,1)两点

22(x4)(y2)10（除去(3,5),(5,1)两点）

轨迹方程是在课前我批阅学生作业，找到几个解题方法比较典型以及错误比较典型的作业例子，并拍照放到课件当中，在课堂上展示给学生看，并请做得比较好的学生上台讲解自己的解题方法，并给予适当加分

设计意图：这道题学生最常见的解题方法是定义法和直接法，通过对学生这几种解题方法的展示，达到复习之前知识的目的。不管用哪种方法，学生都容易掉入到一个陷阱中去：A、B、C三点要能构成三角形，所以A、B、C三点不共线且B、C不能重合。这里用几何画板进行演示，让学生直观看到C点不可能存在的位置。通过对轨迹完整性的判断，提升学生思维的严谨性，并为例2当中的轨迹完整性判断埋下伏笔。

在平常考试当中遇到的轨迹方程问题，出现最多的是用相关点法进行求解。为了考察学生对这种方法掌握的牢固程度，这里我给出一道相关点法求轨迹方程的例题让学生进行小组合作，并且选出一个小组上台进行讲解，并根据讲解情况给予适当加分。

例1 已知P(5,0)和圆x2y216,A为圆上任意一点，求PA的中点M的轨迹方程. 解（相关点法）:设从动点M(x,y)，主动点A(x0,y0)

x05xx02x52y02yyy02

2222xy16

xy1600A因为点在圆上，所以(2x5)2(2y)216x2y25x904

设计意图：通过小组合作以及学生评讲调动学生参与的积极性，简单巩固之前学过的相关点法的步骤，并且为例２的第一种解法（参数法）提供一个参考依据。

(三)

类比学习，寻找异同

引入一道难度加大的例题,引导学生对比这道题与上道题之间的异同

22P(5,0)xy16，过P任意作直线l与圆交于A、B两点，求弦例2

已知和圆AB的中点M的轨迹方程. 设计意图：通过引导，学生会发现上一道题中，动点的轨迹只随着一个点（点A）的运动而产生，而本道题中，动点M的轨迹受两个点（点A、点B）的影响，由此想到要将A、B、M三点坐标表示出来，也就引出了解法一参数法：借助中间变量，使x、y之间建立起联系，再从所求式子中消去参数得出动点轨迹方程，达到设而不求的目的。通过对这种方法的讲解让学生逐步具备将两变量之间建立起联系的思路。

解法一（参数法）：

依题意得，直线的斜率一定存在

设AB的直线方程为yk(x5)

设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)

联立方程组: yk(x5)2222(k1)x10kx25k16022xy16

10k210kx1x22,y1y22k1k1

又M是A、B的中点

x1x25k2x22k1yy1y25k2k21

kxy，代入yk(x5)得: x2y25x0

设计意图：通过这种方法的主要思想是借助中间变量，使x、y之间建立起联系，再从所求式子中消去参数得出动点轨迹方程，达到设而不求的目的。让学生对逐步具备将两变量之间建立起联系的思路。

(四)

另辟蹊径，合作共赢

引导学生发现点在运动过程当中存在一些不变的几何性质，由此发现更简单的解题方法。针对接下来给出的几何法和定义法，我将两种方法的大致思路进行说明之后，让组号为奇数的小组讨论完善解法二，组号为偶数的小组讨论完善解法三，率先完成的小组可抢先上讲台进行板书，并标明组号，老师讲评之后根据完成的情况以及板书整洁情况进行加分。

解法二（几何法）：

M是弦的中点可以利用垂径定理

设M(x,y)，连接OM

OMPMOMPM=0

(x5)xy20即x25xy20

设计意图：引导学生具备对几何问题的敏感性，如本题当中，看到弦中点要能联想到垂径定理，进而发现垂直关系，并由垂直关系想到向量数量积等于零，由此实现各个知识点的综合运用。

解法三（定义法）：

设M(x,y)，连接OM

OMPM点M在以OP为直径的圆上

由O、P两点的坐标可以得到圆的方程为: x2y25x0

设计意图：将这种方法与练习进行对比，发现圆的方程的表现形式有多种，不应只将目光锁定在“到定点距离等于定长的点组成的轨迹是圆”上，对直角三角形也应有一定的敏感性。由此培养学生的发散性思维。

将两种方法的大致思路进行说明之后，让组号为奇数的小组讨论完善解法二，组号为偶数的小组讨论完善解法三，率先完成的小组可抢先上讲台进行板书，并标明组号，老师讲评之后根据完成的情况以及板书整洁情况进行加分。

设计意图：此过程调动课堂氛围，培养学生的小组合作意识。同时，上台板书能完善学生的解题步骤，养成良好解题习惯。

例2的三种解法讲解完毕之后，引出例1当中提出的轨迹完整性判断，根据几22xy16外面,进何画板中演示的轨迹形成过程,学生会发现M点不可能运动到圆而认识到求出的轨迹不是一个完整的圆，因此三种方法的解题步骤都应得到进一步完善：

又因为M只能在圆内，联立方程组：

22x5xy0162x2xy165

解得轨迹方程为x2y25x0(0x即轨迹为圆的一部分16)5

设计意图：两个小组的学生上台板书完成之后再讲解题目中的陷阱，让学生印象深刻，同时与例1当中已经提出的轨迹完整性判断相呼应，加深学生的认识，培养学生严谨的思维模式。

(五)

小结反思，分享共进

把时间给各个小组，让学生小组合作讨论总结以下问题：

1.本节课你掉入了哪些陷阱？

2.本节课你学到了哪些求轨迹方程的方法？

3.你对哪些方法的使用由不熟练变成了熟练？

4.本节课你最大的收获是什么？

总结完成之后点同学起立分享，并对分享好的同学进行加分。

设计意图：讨论分享环节引导学生进行课后反思，用小组合作以及加分的方式提高学生积极性。学生起立分享可以让一个学生的收获变成所有学生的收获，达到共同进步的目的，让学生在学习中体会到快乐。

(六)

课后练手，学以致用

给学生留下一道题目作为练习，该题的解题方法是相关点法。

课后作业：设定点M(－3，4)，动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求P点的轨迹方程。

设计意图：相关点法是我们在至今为止的考试当中遇到最多的一种求解轨迹方程的方法，通过这道例题巩固学生对这种方法的掌握，达到学以致用的目的。