小结名师教学视频（文字实录）

4.2.1直线与圆的位置关系

东宁市第一中学 滕金玲 一、

教学内容分析：

本节课为高一期末复习的习题课直线和圆的位置关系是解析几何的基础，解析几何的知识在历年的高考中频繁出现在选择、填空、解答题中，是学生们的重要得分点之一，通过本节课学习，学生对直线与圆的位置关系问题能够更好地的分析解答，同时强化学生对直线与圆的位置关系的理解和巩固，同时消除他们对高考的神秘感和畏惧感。

二、

学情分析：

对高一的学生来说，已学的直线方程，圆的方程，点到直线的距离公式的有关等知识，有一定观察分析、解决问题的能力，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，因此思维灵活性受到制约。根据以上特点，教师恰当引导，提高学生学习主动性，

多加以前后知识间的联系，带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦。 三、设计思想： 本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引下以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组,集体等多种解难释疑的尝试活动，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。

四．教学目标 1.知识与技能：. 1、能够熟练的写出直线和圆的交点坐标；

2、能根据给定直线、圆的方程判断直线和圆的位置关系；

3、解决圆的切线问题

2.过程与方法：通过自主探究，达到准确熟练应用点到直线的距离公式判断直线与圆的位置关系解题的目的. 提高学生数学的提出、分析和

解决实际问题的能力，加强数学表达和交流的能力. 3.情感、态度与价值观：通过探究活动，培养归纳、整理所学知识的能力，从

而激发学习兴趣、求知欲望，

并培养良好的学习品质． 4、重点，难点：判断直线与圆的位置关系、圆的弦长的求法，圆的切线的求法

五、教学过程：

一、温故而知新

1、点到直线的距离公式

2、直线与圆的位置关系有哪些？

二、直线和圆的位置关系判断方法：

1、几何法

：设圆心到直线的距离为d，圆的半径r

直线与圆相交d___r；

直线与圆相切_d___r；

直线与圆相离d___r_ 2、代数法

：

0方程_______根直线与圆______交点直线与圆相____；

0方程_______根直线与圆_____交点直线与圆相____；

0方程_______根直线与圆______交点直线与圆相____. 三、典例分析

（一）：位置关系的判断

典例1、已知直线l：3x＋y－6=0和圆心为C的圆x2y22y40，判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标

判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；可以依据圆心到直线的距离与半径的长的关系，判断直线与圆的位置的关系．

解法1：由直线l与圆的方程，得

消去y，得因为，

所以，直线l与圆相交，有两个公共点．

由把把，解得代入方程①，得代入方程①，得，．

．

．

所以，直线l与圆有两个交点，它们的坐标分别是A(2，0)B(1，3)．

解法2：圆半径长为可化为，点(0，1)到直线l的距离

其圆心C的坐标为(0，1)，．

所以，直线l与圆相交，有两个公共点。

以下同解法1．

点拨：判断直线l与圆C的位置关系有两种方法．一种方法是判断直线l与圆C 的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线l与圆C有公共点．有两组实数解时，直线l与圆C相交；有一组实数解时，直线l与圆C相切；无实数解时，直线l与圆C相离。另一种方法是判断圆C的圆心到直线l的距离d与圆的半径r的关系．如果d＜r，直线l与圆C相交；如果d=r，直线l与圆C相切；如果d＞r，直线l与圆C相离．

变式训练: 1判断直线3x+4y+2=0与圆x2y22x0的位置关系。

解析: 求出圆心到直线的距离d，与圆的半径r比较大小即可判断出直线与圆的位置关系，即可得到正确答案．

圆的方程可化为,可得到圆心坐标（1，0），半径r=1。则圆心（1，0）到直线3x+4y+2=0的距离d=以直线与圆的位置关系是相切．

2、已知直线，

所l:yx6,圆Cx2y22y40,试判断直线l与圆C有无公共点,有几个公共点. 解:

圆Cx2y22y40即心、半径等于的圆, ,表示以C(0,1)为圆由于圆心到直线yx6的距离为故直线和圆相离,没有公共点. 解析::求得圆心到直线yx6的距离大于半径,大于半径, ,可得直线和圆相离,没有公共点.本题主要考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式的应用,属于基础题. （二）．圆的弦长问题。

典例2：已知过点M(-3,-3)的直线l被圆x2y24y210所截得的弦长为45,求直线l的方程

解:直线方程为y3k(x3),化简得圆x2y24y210即

即圆心坐标为(0,-2),半径为r=5, 根据垂径定理由垂直得中点,所以圆心到弦的距离即为,

直线l被圆x2y24y210所截得的弦长为,

45

1

2所以,解得k=2或k所以直线方程为2xy30或x2y90

解析::设出过P的直线方程的斜率为k,由垂径定理得:弦的一半、圆的半径、

圆心到弦的距离构成直角三角形,利用点到直线的距离公式列出斜率的方程,求出即可得到k的值,即可得到直线方程. 考查学生掌握直径与圆的弦垂直时直径平分这条弦的运用,会利用点到直线的距离公式化简求值.此题是一道综合题,要求学生掌握的知识要全面,解k时注意两种情况都满足.

请同学们想一想: 圆的弦长还可以怎么算？

引出弦长公式AB1k2x1x2

变式练习：求直线2xy20,被圆(x3)2y29所截得的弦长.

解:圆(x3)2y29的圆心为C(3,0),半径r=3, 点C到直线直线2xy20的距离, 根据垂径定理,得直线2xy20被圆(x3)2y29

截得的弦长为: . 解析:算出已知圆的圆心,半径,.利用点到直线的距离公式,算出点C到直线直线l的距离d,由垂径定理加以计算,可得直线l被圆截得的弦长. 本题给出直线与圆的方程,求直线被圆截得的弦长,着重考查点到直线的距离公式、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识,属于中档题. （三）切线问题

典例3 ：

求过圆C:x2y24上一点(1,3)的切线方程. 结论：过圆上一点的圆的切线有_______条.

结论：已知圆C的方程是x2y2r2，经过圆C上一点M(x0，y0)的切线方程是（记住此结论）

x0xy0yr2．

典例4：

过点(1,3)求圆C:x2y21的切线方程. 结论：过圆外一点的圆的切线有_______条. 六、课堂小结

：

1、直线和圆的位置关系判断方法：几何法和代数法

2、弦长公式：AB2r2d2或AB1k2x1x2

3、切线的求法

本课是在学生学习完直线返程，圆的方程之后，学生可以有一定观察分析、解决问题的能力，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，因此思维灵活性受到制约。根据以上特点，教师恰当引导，提高学生学习主动性，多加以前后知识间的联系，带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦。

本课在继承了传统数学教学模式优点，结合新课程的要求进行改进和发展，以发展学生的数学思维能力为主线，发挥教师的设计者，组织者作用，在使学生掌握知识的同时，帮助学生摸索自己的学习方法。