4.3.2 空间两点间的距离公式教学设计

4.3.2 空间两点间的距离公式

教学目标

1．知识与技能

使学生掌握空间两点间的距离公式

2．情态与价值观

通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程

教学重点、难点

重点：空间两点间的距离公式；

难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。

教学方法

谈论法，讲练结合法

教学设计

一．教学过程

1.复习引入

在平面上任意两点A

(x1，y1)，B

(x2，y2)之间的距离的公式为|AB| =(x1x2)2(y1y2)2，那么对于空间中任意两点A (x1，y1，z1)，B (x2，y2，z2)之间的距离的公式会是怎样呢？你猜猜？（通过类比，充分发挥学生的联想能力）

2.概念形成

空间中任间一点P (x，y，z)到原点之间的距离公式会是怎样呢？

从特殊的情况入手，化解难度

3. 如果|OP| 是定长r，那么x2 + y2 + z2 = r2表示什么图形？

任何知识的猜想都要建立在学生原有知识经验的基础上，学生可以通过类比222在平面直角系中，方程x + y = r表示原点或圆，点或圆，得到知识上的升华，提高学习的兴趣。

4.如果是空间中任间一点P1

(x1，y1，z1)到点P2

(x2，y2，z2)之间的距离公式是怎样呢？

|P1P2| =

(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2

1

二．例题

例1

已知点A在y轴

，点B(0，1，2)且|AB|5，则点A的坐标为

. 【解析】由题意设A(0，y，0)，则(y1)245，

解得：y = 0或y = 2，故点A的坐标是(0，0，0)或(0，2，0) 例2

坐标平面yOz上一点P满足：（1）横、纵、竖坐标之和为2；（2）到点A (3，2，5)，B(3，5，2)的距离相等，求点P的坐标. 【解析】由题意设P(0，y，z)，则

yz2

222222(03)(y2)(z5)(03)(y5)(z2)y1解得：

z1故点P的坐标为(0，1，1) 例3

在yOz平面上求与三个已知点A(3，1，2)，B(4，–2，–2)，C

(0，5，1)等距离的点的坐标. |PA||PC|【解析】设P(0，y，z)，由题意

|PB||PC|222222(03)(y1)(z2)(00)(y5)(z1)所以

222222(04)(y2)(z2)(00)(y5)(z1)4yz60y1即，所以，

z27y3z10所以P的坐标是(0，1，–2).

巩固练习

1．先在空间直角坐标系中标出A、B两点，再求它们之间的距离：

（1）A(2，3，5)，B(3，1，4)；

（2）A(6，0，1)，B(3，5，7) 2．在z轴上求一点M，使点M到点A(1，0，2)与点B(1，–3，1)的距离相等. 3．求证：以A(10，–1，6)，B(4，1，9)，C(2，4，3)三点为顶点的三角形是等腰三角形. 4．如图，正方体OABD

–

D′A′B′C′的棱长为a，|AN| = 2|CN|，|BM| = 2|MC′|.求MN的长.

解答：

6，图略

1．解析（1）

2

（2）70，图略

2．解：设点M的坐标是(0，0，z).依题意，得

(01)20(z2)2=(01)2(03)2(z1)2. 解得z = –3.

所求点M的坐标是(0，0，–3). 3．证明：根据空间两点间距离公式，得

|AB|(104)2(11)2(69)27

|BC|(42)2(14)2(93)27，

|AC|(102)2(14)2(63)298. 因为7+7＞98，且|AB| = |BC|，所以△ABC是等腰三角形. 4．解：由已知，得点N的坐标为

(,|MN|5a.3(a2aa2a,0)，点M的坐标为(,a,)，于是

3333aa22a2a2)(a)2(0)3333

三．小结

空间两点间的距离公式的推导；空间两点间的距离公式。

四．作业

布置作业

见课本4.3的第二课时

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