习题4.1名师教学设计

考纲要求：

1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．

2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．

3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．

注意事项：

直线与圆，圆与圆的位置关系一直是高考考查的热点，主要考查：

(1)方程中含有参数的直线与圆的位置关系的判断；

(2)利用相切或相交的条件确定参数的值或取值范围；

(3)利用相切或相交求圆的切线或弦长.

1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法

(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系．

dr⇔相离．

>0⇔相交；判别式(2)代数法：Δ＝――→＝0⇔相切；b2－4ac<0⇔相离.2．圆与圆的位置关系

设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，

圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0). 代数法：联立两圆方程组成方程组

方法几何法：圆心距d与r1，r2的关系

位置关系

的解的情况

外离

外切

相交

d>r1＋r2

d＝r1＋r2

|r1－r2|

无解

一组实数解

两组不同的实数解

内切

内含

【知识拓展】

1．圆的切线方程常用结论

d＝|r1－r2|(r1≠r2)

0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)

一组实数解

无解

(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2．圆与圆的位置关系的常用结论

(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．

(2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(

×

) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(

×

) (3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(

×

) (4)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.(

√

) (5)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(

√

)

1．(教材改编)圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是(

) A．相切

C．相交过圆心

答案

B |2×1－2－5|解析

由题意知圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝＝5<6且2×1＋22＋1(－2)－5≠0，

所以直线与圆相交但不过圆心．

2．(2016·全国甲卷)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a等于(

) B．相交但直线不过圆心

D．相离

43A．－

B．－

C.3

D．2 34答案

A 解析

由圆的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得d＝|1×a＋4－1|4＝1，解之得a＝－. 31＋a23．(2016·西安模拟)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(

) A．[－3，－1]

C．[－3,1]

答案

C 解析

由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2，

∴|a－0＋1|≤2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1. 12＋－12B．[－1,3]

D．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 4．圆C1：x2＋y2＋2x－6y－26＝0与圆C2：(x－2)2＋y2＝1的位置关系是________．

答案

内含

解析

圆C1的标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝36. 其圆心坐标为C1(－1,3)，半径r1＝6；

圆C2的圆心坐标为C2(2,0)，半径r2＝1. |C1C2|＝2＋12＋32＝32. ∵32<5＝r1－r2，∴圆C2在圆C1的内部．

5．已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1外切，则ab的最大值为________．

9答案

4解析

由两圆外切可得圆心(a，－2)，(－b，－2)之间的距离等于两圆半径之和，

即(a＋b)2＝(2＋1)2，即9＝a2＋b2＋2ab≥4ab，

9所以ab≤，当且仅当a＝b时取等号，

49即ab的最大值是. 4

题型一

直线与圆的位置关系的判断

例1

(1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(

)

A．相切

C．相离

B．相交

D．不确定

(2)(2016·江西吉安月考)圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为(

) A．相离

C．相交

答案

(1)B

(2)C 解析

(1)因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2>1，而圆心O到直线ax＋by＝1的|a·0＋b·0－1|1距离d＝＝<1. a2＋b2a2＋b2所以直线与圆相交．

(2)直线2tx－y－2－2t＝0恒过点(1，－2)，

∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0，

∴点(1，－2)在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内．

直线2tx－y－2－2t＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交，

故选C. 思维升华

判断直线与圆的位置关系的常见方法

(1)几何法：利用d与r的关系．

(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．

(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．

上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．

过点A(3，1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(

) A．[－1,1]

C．[0,1]

答案

B |3k－1|解析

设直线l的方程为y－1＝k(x－3)，则圆心到直线l的距离d＝，因为直线l1＋k2|3k－1|与圆x2＋y2＝1有公共点，所以d≤1，即≤1，得0≤k≤3. 1＋k2题型二

圆与圆的位置关系

例2

(1)(2016·山东)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(

) A．内切

B．相交

C．外切

D．相离

B．[0，3] D．[－3，3] B．相切

D．以上都有可能

(2)(2017·重庆调研)如果圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值范围是______________________．

答案

(1)B

(2)(－22，0)∪(0,22) 解析

(1)∵圆M：x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，

∴圆心坐标为M(0，a)，半径r1为a，

圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝∴M(0,2)，r1＝2. 又圆N的圆心坐标N(1,1)，半径r2＝1，

∴|MN|＝1－02＋1－22＝2，

r1＋r2＝3，r1－r2＝1. ∴r1－r2＜|MN|＜r1＋r2，∴两圆相交，故选B. (2)圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝4，圆心坐标为(a，a)，半径为2. 依题意得0

思维升华

判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是

(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；

(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1＋r2，|r1－r2|；

(3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．

已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0. (1)m取何值时两圆外切；

(2)m取何值时两圆内切；

(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．

解

两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，

圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，半径分别为11和61－m. (1)当两圆外切时，

5－12＋6－32＝11＋61－m，

解得m＝25＋1011. (2)当两圆内切时，因为定圆的半径11小于两圆圆心间距离5，

故只有61－m－11＝5，解得m＝25－1011. (3)两圆的公共弦所在直线方程为

(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，

即4x＋3y－23＝0，所以公共弦长为

|a||a|，由几何知识得2＋(2)2＝a2，解得a＝2. 22

2|4×1＋3×3－23|2112－＝27. 42＋32课堂小结：

1、判断直线与圆的位置关系的常见方法

(1)几何法：利用d与r的关系．

(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．

(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交。

2、判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是

(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；

(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1＋r2，|r1－r2|；

(3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．

1．(2015·广东)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是(

) A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0 B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0 C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0 D．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0 答案

A |0＋0＋c|解析

设所求直线方程为2x＋y＋c＝0，依题有22＝5，解得c＝±5，所以所求直线方2＋1程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0，故选A. 2．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m等于(

) A．21

B．19

C．9

D．－11 答案

C 解析

圆C2的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m. 又圆C1：x2＋y2＝1，∴|C1C2|＝5. 又∵两圆外切，∴5＝1＋25－m，解得m＝9. 3．(2016·南昌二模)若圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝

0(b∈R)内切，则ab的最大值为(

) A.2

B．2

C．4

D．22 答案

B 解析

圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)．

化为(x－a)2＋y2＝9，圆心坐标为(a,0)，半径为3. 圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)，化为x2＋(y＋b)2＝1，圆心坐标为(0，－b)，半径为1，

∵圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)内切，

1∴a2＋b2＝3－1，即a2＋b2＝4，ab≤(a2＋b2)＝2. 2∴ab的最大值为2. 4．(2016·泰安模拟)过点P(3,1)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为(

) A．2x＋y－3＝0

C．4x－y－3＝0

答案

A 1解析

如图所示：由题意知：AB⊥PC，kPC＝，∴kAB＝－2，∴直线AB的方程为y－1＝－22(x－1)，即2x＋y－3＝0. B．2x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0

5．若直线l：y＝kx＋1(k<0)与圆C：x2＋4x＋y2－2y＋3＝0相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是(

) A．相交

C．相离

答案

A 解析

因为圆C的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝2，所以其圆心坐标为(－2,1)，半径为2，|－2k－1＋1|因为直线l与圆C相切．所以＝2，解得k＝±1，因为k<0，所以k＝－1，所以k2＋1|2＋0－1|2直线l的方程为x＋y－1＝0.圆心D(2,0)到直线l的距离d＝＝<3，所以直线l22与圆D相交．

6．(2016·岳阳一模)已知圆C：x2＋(y－3)2＝4，过A(－1,0)的直线l与圆C相交于P，Q两点，若|PQ|＝23，则直线l的方程为(

) B．相切

D．不确定

A．x＝－1或4x＋3y－4＝0 B．x＝－1或4x－3y＋4＝0 C．x＝1或4x－3y＋4＝0 D．x＝1或4x＋3y－4＝0 答案

B 解析

当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1，符合题意；

当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，由|PQ|＝23，得圆心C到直线l的距离

|－k＋3|4d＝2＝1，解得k＝，

3k＋14此时直线l的方程为y＝(x＋1)．

3故所求直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0. 7．(2016·全国乙卷)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝23，则圆C的面积为________．

答案

4π

解析

圆C：x2＋y2－2ay－2＝0，即C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，圆心为C(0，a)，C到直线y＝|0－a＋2a||a|232|a|22x＋2a的距离d＝＝.又由|AB|＝23，得＋＝a＋2，解得a2＝2，所2222以圆的面积为π(a2＋2)＝4π.

8．(2016·天津四校联考)过点(1，2)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝________. 答案

2

2解析

∵(1－2)2＋(2)2＝3<4，

∴点(1，2)在圆(x－2)2＋y2＝4的内部．

当劣弧所对的圆心角最小时，圆心(2,0)与点(1，2)的连线垂直于直线l. ∵2－02＝－2，∴所求直线l的斜率k＝. 21－2→→9．(2015·山东)过点P(1，3)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则PA·PB＝________. 3答案

2解析

由题意，圆心为O(0,0)，半径为1.如图所示，

∵P(1，3)，∴PB⊥x轴，|PA|＝|PB|＝3. ∴△POA为直角三角形，其中|OA|＝1，|AP|＝3，

则|OP|＝2，

∴∠OPA＝30°，∴∠APB＝60°. 3→→→→∴PA·PB＝|PA||PB|·cos∠APB＝3×3×cos 60°＝. 210．已知曲线C：x＝－4－y2，直线l：x＝6，若对于点A(m，0)，存在C上的点P和l上→→的点Q使得AP＋AQ＝0，则m的取值范围为________．

答案

[2,3]

解析

曲线C：x＝－4－y2，是以原点为圆心，2为半径的半圆，并且xP∈[－2,0]，对于点→→A(m,0)，存在C上的点P和l上的点Q使得AP＋AQ＝0，

说明A是PQ的中点，Q的横坐标x＝6，

6＋xP∴m＝∈[2,3]．

211．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M. (1)若点P运动到(1,3)处，求此时切线l的方程；

(2)求满足条件|PM|＝|PO|的点P的轨迹方程．

解

把圆C的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，

∴圆心为C(－1,2)，半径r＝2. (1)当l的斜率不存在时，此时l的方程为x＝1，

C到l的距离d＝2＝r，满足条件．

当l的斜率存在时，设斜率为k，

得l的方程为y－3＝k(x－1)，

即kx－y＋3－k＝0，

则|－k－2＋3－k|3＝2，解得k＝－. 41＋k23∴l的方程为y－3＝－(x－1)，即3x＋4y－15＝0. 4综上，满足条件的切线l的方程为x＝1或3x＋4y－15＝0.

(2)设P(x，y)，则|PM|2＝|PC|2－|MC|2

＝(x＋1)2＋(y－2)2－4，

|PO|2＝x2＋y2，∵|PM|＝|PO|，

∴(x＋1)2＋(y－2)2－4＝x2＋y2，

整理，得2x－4y＋1＝0，

∴点P的轨迹方程为2x－4y＋1＝0. 12．圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心坐标为(2,1)．

(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；

(2)若圆O1与圆O2相交于A，B两点，且|AB|＝22，求圆O2的方程．

解

(1)圆O1的圆心坐标为(0，－1)，半径r1＝2，

圆O2的圆心坐标为(2,1)，

圆心距为|O1O2|＝2－02＋1＋12＝22，

由两圆外切知，所求圆的半径为r2＝22－2，

圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12－82. (2)由题意知，圆心O1到AB的距离为22－22＝2，

当圆心O2到AB的距离为22－2＝2时，

圆O2的半径r2＝22＋22＝2，

此时圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4. 当圆心O2到AB的距离为22＋2＝32时，

圆O2的半径r2′＝322＋22＝25，

此时圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝20. 综上知，圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20. *13.(2016·湖南六校联考)已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．

(1)求圆C的方程；

(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

5解

(1)设圆心C(a,0)(a>－)，

2则|4a＋10|＝2⇒a＝0或a＝－5(舍)．

5所以圆C的方程为x2＋y2＝4. (2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB. 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

22x＋y＝4，由得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，

y＝kx－1，

k2－42k2所以x1＋x2＝2，x1x2＝2. k＋1k＋1若x轴平分∠ANB，

y1y2则kAN＝－kBN⇒＋＝0 x1－tx2－t⇒kx1－1kx2－1＋＝0 x1－tx2－t⇒2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0 2k2－42k2t＋1⇒2－2＋2t＝0⇒t＝4，

k＋1k＋1所以当点N为(4,0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．