1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）优质课教案

1．3.1

柱体、锥体、台体的表面积与体积

1．多面体与旋转体的表面积公式

图形

多面体

圆

柱

底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl

表面积：S＝2πrl＋2πr2 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝πrl

表面积：S＝πrl＋πr2 上底面面积：S上底＝πr′2 下底面面积：S下底＝πr2

侧面积：S侧＝πl(r＋r′)表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)

表面积公式

多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积

旋

转

圆

体

锥

圆

台

2.柱体、锥体、台体的体积

(1)柱体的体积：

①棱柱(圆柱)的高：指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．

②柱体的底面积为S，高为h，其体积V＝Sh，特别地，圆柱的底面半径为r，高为h，其体积V＝πr2h. (2)锥体的体积：

①棱锥(圆锥)的高：指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．

11②锥体的底面积为S，高为h, 其体积V＝Sh，特别地，圆锥的底面半径为r，高为h，其体积V＝πr2h. 33(3)台体的体积：

①圆台(棱台)的高：指两个底面之间的距离．

1②台体的上、下底面面积分别是S′，S，高为h，其体积V＝(S＋S′S＋S′)h.特别地，圆台的上、31下底面半径分别为r，r′，高为h，其体积V＝π(r2＋rr′＋r′2)h. 31．棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图是什么？

提示：棱柱的侧面展开图是平行四边形，一边是棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长，如图(1)所示；棱锥的侧面展开图是由若干个小三

角形拼成的．如图(2)所示；棱台的侧面展开图是由若干个梯形拼接而成的，如图(3)．

2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间有什么关系？

提示：

3．柱、锥、台体的体积公式之间有什么关系？

提示：

考点一

计算空间几何体的表面积

如图所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体，

若在其中一个面的中心位置上，

挖一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的洞，求挖洞后几何体的表面积是多少？(π取3.14)

[自主解答]

正方体的表面积为4×4×6＝96(cm2)．

圆柱的侧面积为2π×1×1≈6.28(cm2)．

则挖洞后几何体的表面积约为96＋6.28＝102.28(cm2)．

1．求几何体的表面积时，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积．

2．组合体的表面积是组成它的简单几何体的表面积之和减去公共部分面积．

1．圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？

解：如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180°，

故c＝π·SA＝2π×10，

所以SA＝20. 同理可得SB＝40，

所以AB＝SB－SA＝20. 所以S表面积＝S侧＋S上＋S下

2＝π(r1＋r2)·AB＋πr21＋πr2

＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202

＝1 100π (cm)2. 故圆台的表面积为1 100π cm2. 考点二

计算空间几何体的体积

如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C－A′DD′，求棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比．

[自主解答]

设AB＝a，AD＝b，DD′＝c，

则长方体ABCD－A′B′C′D′的体积V＝abc，

1又S△A′DD′＝bc，且三棱锥C－A′DD′的高为CD＝a. 211∴V三棱锥C－A′DD′＝S△A′DD′·CD＝abc. 3615则剩余部分的几何体体积V剩＝abc－abc＝abc. 66

15故V棱锥C－A′D′D∶V剩＝abc∶abc＝1∶5. 66

常见的求几何体体积的方法：

(1)公式法：直接代入公式求解；

(2)等积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可；

(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等；

(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．

2．把由曲线y＝|x|和y＝2围成的图形绕y轴旋转360°，所得旋转体的体积为(

) 8π10π6π32πA.

B.

C.

D.

333318π解析：由题意可知，该旋转体为一底面半径为2，高为2的圆锥，其体积V＝×π×22×2＝. 33答案：A

考点三

由三视图计算几何体的表面积和体积

(辽宁高考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．

[自主解答]

由三视图可知该组合体的上方是一个高为1，底面直径为2的圆柱，下方是一个长宽高分别为4,3,1的长方体，如图所示，它的体积V＝1×π×12＋4×3×1＝12＋π.

[答案]12＋π

根据几何体的三视图求其表面积与体积是新课标高考的热点考向，解决该类问题的步骤为：(1)根据三

视图明确几何体的结构特征；(2)明确三视图中各数据所反映几何体的特征；(3)代入相应的面积公式，体积公式求解．

3.(山东高考)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如右图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是(

)

88A．45，8

B．45，

C．4(5＋1)，

D．8,8 33解析：由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为2，侧面上的斜高为22＋12＝5，所以118×2×5＝45，V＝×22×2＝. S侧＝4×233答案：B

【解题高手】【易错题】

把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积．

33[错解]

设卷成的圆柱的底面半径为r，母线长为l，则2πr＝6，l＝3，∴r＝，所以V圆柱＝πr2·l＝π·ππ

27·3＝. π[错因]

错解的原因是把宽当成母线，沿着矩形的长卷成圆柱，没有考虑到也可以沿着矩形的宽卷成圆柱．

[正解]

设卷成的圆柱的底面半径为r，母线长为l，则

3①当2πr＝6时，r＝，l＝3，

π327所以V圆柱＝πr2·l＝π·()2·3＝. ππ3②当2πr＝3时，r＝，l＝6，

2π327所以V圆柱＝πr2·l＝π·()2·6＝. 2π2π2727所以所得圆柱的体积为或.

π2π

2

1．长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，对角线长为214，则这个长方体的体积是(

) A．6

B．12

C．24

D．48 2．若一个四棱锥的底面的面积为3，体积为9，则其高为(

) 1A.

B．1

C．3

D．9 33．圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是(

) 23A．4πS

B．2πS

C．πS

D.πS

34．三棱锥S—ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB＝BC＝CA＝2，则三棱锥S—ABC的表面积是__________．

5．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的表面积是________．

6．如图是一个几何体的三视图(单位：cm)，画出它的直观图，并求出它的体积和表面积．(精确到1 cm)．

一、选择题

1．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方体，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是(

) 1＋2π1＋4π1＋2π1＋4πA.

B.

C.

D.

2π4ππ2π2．如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是(

)

A．6π

B．12π

C．18π

D．24π

13．如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可2以是(

)

4．(北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是(

)

A．28＋65

B．30＋65 C．56＋125

D．60＋125

二、填空题

5．已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝________. 6．一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个几何体的表面积是________．

7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于________．

8．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则a＝________.

三、解答题

9．图中所示的图形是一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm，高为20 cm的一个圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降多少？

10．已知一个几何体的三视图如下，试求它的表面积和体积．(单位：

cm)