复习参考题教学设计案例

正方体中的线面关系

武汉市第二中学

赖海燕. 一、

教材分析

正方体中的线面关系是从人教A版普通高中课程标准实验教科书必修2第2章复习参考题中提炼出来的内容，此前学生学习了第二章《点、直线、平面之间的位置关系》，了解了平行、垂直关系的基本性质以及判定方法。为了进一步提高学生的空间想象能力，发展推理能力，设计了本章的复习参考题。正方体是线面关系中的基本几何体，其结构对称，各元素之间具有相等，平行，垂直等关系，内涵丰富，是研究线面关系、线线关系、面面关系、特殊几何体的一个重要载体。根据题意，充分利用正方体模型的线面关系，构造正方体模型，可以化繁为简、化难为易，巧妙地将题目解出。因此，我在复习参考题中首先提炼出正方体中的线面关系进行讲解。

二、学情分析

对高中学生来说，初次接触立体几何，空间立体感不强,而解决立体几何问题，需要有一定观察、分析、解决问题的能力，较强的空间立体感，这就使一部分学生产生畏惧心理进而放弃，因此教师应恰当引导，提高学生学习主动性，对以前知识加以复习，强化模型观念，进而提高空间想象能力。

三、学法设计

本节课采用探索与研究的方法进行讲授，在教学过程中，教师不断启发引导，学生可以通过分析、讨论，归纳正方体模型中的线面关系，并进一步应用正方体模型解决问题。结合多媒体教学和教学模型演示，使学生更加直观的观察立体图形，逐步培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，提高学生的空间想象能力及数学逻辑思维能力。

四、教学目标及重难点

1知识目标

理解正方体中的平行关系及线面垂直关系，并运用特殊的等边三角形和正六边形与体对角线的垂直关系解决问题。

2.能力目标

培养学生观察、分析、归纳的能力，进一步发展学生的空间想象能力和数学思维能力

3.情感目标

激发学生学习数学兴趣，培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力，学生深入体会转化思想方法。

教学重点：正方体模型中的垂直关系及其应用，尤其是与体对角线垂直的平面的观察与积累。

教学难点：与正方体的体对角线垂直的平面的观察以及解答过程中对特殊截面的补形。

五、教学过程设计

（一）．创设情境（引起关注，激发兴趣）

根据新课程的理念和本节课的教学要求，由本章内容引出了本节课的内容，自然流畅。 提问：我们在第二章学习了线面、面面的平行与垂直关系以及线面角、二面角。在研究这些关系时，正方体是最常见的模型。下面，我们就来看看正方体模型中的线面关系。大家看看图中的正方体有哪些平行垂直的关系？

学生回答，老师引导归纳：

（1）正方体中相对的面平行，可以从中直接观察到线面平行和线线平行

（2）正方体的棱和过棱的端点的相对的面垂直，如AA1 ⊥面ABCD

引导学生证明AC ⊥面BB1D1D并观察如何寻找与面对角线垂直的平面，激发学生的兴趣,然后归纳

（3）正方体的面对角线与对角面垂直

（二）、探究新知（导入新课）

1.除了正方体表面的直线外，我们也经常观察正方体内部的直线，如体对角线，那么，围绕体对角线，有哪些平行垂直关系呢? 例1.（复习参考题B组第2题）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：

（1）B1D ⊥平面A1C1B

（2）B1D 与平面A1C1B的交点H是△A1C1B的重心（三角形三条中线的交点）引导学生在归纳的面对角线与对角面垂直的基础上进行证明：

证明. （1）连结B1D1，B1D1⊥A1C1，又DD1⊥面A1B1C1D1，所以DD1⊥A1C1，A1C1⊥面D1DB1. 因此，A1C1⊥B1D. 同理可证B1D⊥A1B，所以B1D⊥平面A1C1B. （2）连结A1H，BH，C1H，由A1B1＝BB1＝C1B1，得A1H＝BH＝C1H，因此点H为△A1BC1的外心. 又△A1BC1为正三角形，所以H是△A1BC1的外心，也即△A1B1C1的重心. 2.延伸探索：围绕例1，进一步探究H点在体对角线的位置

如图，引导归纳：

（1）平面A1BD∥平面CB1D1

（2）体对角线AC1被平面A1BD与平面CB1D1三等分

（三）、结论应用，形成方法

例2.【2018年理新课标I卷12题】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为

A.

B.

C.

D.

探索过程：引导学生将每条棱所在直线与平面所成的角转化为过同一顶点的三条棱与平面所成的角，进而找到体对角线所成的等边三角形，然后再去寻找与此平面平行的平面中最大的一个。最后用运动观点确定面积最大的正六边形。

【答案】A 归纳小结：正方体的体对角线垂直于面对角线构成的等边三角形，与等边三角形平行的特殊截面还有正六边形。

例3.已知M，N，K分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，B1C1，DD1的中点，在正方体的所有面对角线和体对角线所在的直线中，与平面MNK平行的直线有(

) A．6条

B．7条

C．8条

D．9条

解析：补形得到平面MNK与正方体侧面的交线，得到正六边形MENFKG，如图所示．由线面平行的判定定理，可得BD，B1D1，BC1，AD1，AB1，DC1所在直线与平面MNK平行，∴正方体的所有面对角线和体对角线所在的直线中，与平面MNK平行的有6条．故选A. 答案：A 归纳：此问题本质就是正三角形与正六边形截面的应用。

例4．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断中不正确的是(

) A．平面PB1D

⊥平面ACD1

B．A1P∥平面ACD1

C．

异面直线A1P与AD1所成角的范围是D．

三棱锥A-CD1P的体积不变

解析：由本节课归纳的模型可以知道平面面面

，从而可判断正确；同样，从而可判断正确；根据“等积变换”可判断正确；

当与线段的两点端点重合时，与所成角取最小值，当与线段的中点重合时，答案：C.

与所成角取最大值，故与所成角的范围是，错误，

（四）、课堂小结

1.正方体中最基础的面面平行关系以及棱与面的垂直关系我们可以直接观察。

2.面对角线与对角面的垂直关系能够理解应用。

3.与正方体的体对角线垂直的平面中，最特殊的是正三角形与正六边形，我们在解题中，能够通过观察和联想，主动加以应用，进而简化解题过程。

（五）、作业：复习参考题

六、教学后记

在教学过程中，通过观察实物、模型演示，创设问题情境，引导学生深入研究正方体中特殊的垂直关系，逐步归纳与体对角线垂直的特殊截面。随着一个个问题的解决，学生进行不断的思考讨论、观察联想，这样的教学设计可以让学生主动参与课堂教学，充分调动学生的积极性，激发学生的创新思维。