2.1.4 平面与平面之间的位置关系优质公开课教案

点、直线、平面之间的位置关系

立体几何部分在正常情况下考两题。一道填空题，常考空间的线、面位置关系的辨析与判定或特殊几何体的体积、表面积等，要求考生对公理、定理、性质、定义等非常熟悉．并能借助已有的几何体中的线与面来解决问题；一道大题，常考线面的平行、垂直，面面的平行与垂直，偶尔也求确定几何体的体积，通过线段长度、线段长度比，点的位置确定等来探索几何体中的线线、线面、面面的位置关系，要重视，要学会规范答题．

1. 直线a，b是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则a与b的位置关系是________．

2.a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出以下命题：

a∥γ①b∥γ

a∥c∥b；②α∥c

α∥γ∥α；③β∥γ

∥β.

其中真命题是____________(填所有正确命题的序号)．

如果直线l⊥平面α，给出下列判断：

①若直线m⊥l，则m∥α；②若直线m⊥α，则m∥l；

③若直线m∥α，则m⊥l；④若直线m∥l，则m⊥α.

其中正确判断的序号是________________．

3.已知A、B、C、D不共面，A在平面BCD上的射影为O，则AB⊥CD，AC⊥BD是O为△BCD垂心的________(填“充分必要，充分不必要，必要不充分，既不充分又不必要”)条件．

【例1】

如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点，求证：

(1) MO∥平面PAC；

(2) 平面PAC⊥平面PBC.

【例2】

如图四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AD＝1，侧面PAD是正三角形，且与底面垂直，Q是AD的中点．

(1) 求四棱锥PABCD的体积；

(2) M在线段PC上，PM＝tPC，线段BC上是否存在一点R，使得当t∈(0,1)时，总有BQ∥平面MDR？若存在，确定R点位置；若不存在，说明理由．

【例3】

如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝1. (1) 求证：E、B、F、D1四点共面；

2(2) 若点G在BC上，BG＝，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥平3面BCC1B1.

【例4】

如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，E、F分别为边AB、AD的中点，现将△ADE沿DE折起，得四棱锥ABCDE. (1) 求证：EF∥平面ABC；

(2) 若平面ADE⊥平面BCDE，求四面体FDCE的体积．

1. (2011·福建)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．

2. (2010·湖北)用a、b、c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：

①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b. 其中正确的命题有________________(填所有正确命题的序号)．

3. (2009·江苏)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：

①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；

②若α外一条直线l与α内一条直线平行，则l和α平行；

③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；

④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．

上面命题中，真命题的是________(填所有真命题的序号)．

4.(2011·浙江)下列命题中错误的是________ ①如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β；

②如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β；

③如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ；

④如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β.

5. (2011·江苏)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分别是AP、AD的中点，

求证：

(1) 直线EF∥平面PCD；

(2) 平面BEF⊥平面PAD.

6. (2010·山东)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.

(1) 求证：平面EFG⊥平面PDC；

(2) 求三棱锥PMAB与四棱锥PABCD的体积之比．

(2011·南京一模)(本小题满分14分)如图，在棱长均为4的三棱柱ABCA1B1C1中，D、D1分别是BC和B1C1的中点．

(1) 求证：A1D1∥平面AB1D；

(2) 若平面ABC⊥平面BCC1B1，∠B1BC＝60°，求三棱锥B1ABC的体积．

(1) 证明：如图，连结DD1.在三棱柱ABCA1B1C1中，

因为D、D1分别是BC与B1C1的中点，

所以B1D1∥BD，且B1D1＝BD，

所以四边形B1BDD1为平行四边形，(2分)

所以BB1∥DD1，且BB1＝DD1. 又AA1∥BB1，AA1＝BB1，

所以AA1∥DD1，AA1＝DD1，

所以四边形AA1D1D为平行四边形，(4分) 所以A1D1∥AD.

又A1D1平面AB1D，平面AB1D，

故A1D1∥平面AB1D.(6分) (2) 解：(解法1)在△ABC中，因为AB＝AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC. 因为平面ABC⊥平面B1C1CB，交线为BC，平面ABC，所以AD⊥平面B1C1CB，

即AD是三棱锥AB1BC的高.

(10分) 在△ABC中，由AB＝AC＝BC＝4，得AD＝23. 在△B1BC中，B1B＝BC＝4，∠B1BC＝60°，

所以△B1BC的面积S△B1BC＝32×4＝43. 4所以三棱锥B1ABC的体积即三棱锥AB1BC的体积：

11V＝×S△B1BC·AD＝×43×23＝8.

(14分) 33(解法2)在△B1BC中，因为B1B＝BC，∠B1BC＝60°，所以△B1BC为正三角形，因此B1D⊥BC. 因为平面ABC⊥平面B1C1CB，交线为BC，B1平面B1C1CB，

所以B1D⊥平面ABC，即B1D是三棱锥B1ABC的高.

(10分) 在△ABC中，由AB＝AC＝BC＝4得△ABC的面积S△ABC＝32×4＝43. 4在△B1BC中，因为B1B＝BC＝4，∠B1BC＝60°，所以B1D＝23. 11所以三棱锥B1ABC的体积V＝×S△ABC·B1D＝×43×23＝8.

(14分) 33

点、直线、平面之间的位置关系

1. 过三棱柱

ABC—A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．

【答案】

6 2. m、n是空间两条不同的直线，α、β是空间两个不同的平面，下面有四个命题：

① m⊥α，n∥β，α∥⊥n；

② m⊥n，n∥β，m⊥∥β；

③ m⊥n，α∥β，m∥⊥β；

④ m⊥α，m∥n，α∥⊥β.

其中真命题是____________(写出所有真命题的序号)．

【答案】

①④

3. 给出以下四个命题，其中真命题是____________(写出所有真命题的序号)．

①

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；

②

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；

③

如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；

④

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．

【答案】

①②④

4. 如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A、B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点，有以下四个命题：

① PA∥平面MOB；

② MO∥平面PBC；

③ OC⊥平面PAC；

④

平面PAC⊥平面PBC. 其中正确的命题是____________．(填上所有正确命题的序号) 【答案】

④

5. 直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝BB1＝1，AB1＝3. (1) 求证：平面AB1C⊥平面B1CB；

(2) 求三棱锥A1—AB1C的体积．

解：(1) 证明：直三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，

则BB1⊥AB，BB1⊥BC. 又由于AC＝BC＝BB1＝1，AB1＝3，则AB＝2，

则由AC2＋BC2＝AB2，可知AC⊥BC. 又由BB1⊥底面ABC，可知BB1⊥AC，则AC⊥平面B1CB，所以平面AB1C⊥平面B1CB. 111(2) 解：三棱锥A1—AB1C的体积VA1—AB1C＝VB1—A1AC＝××1＝. 326(注：还有其他转换方法) 6. 已知等腰梯形PDCB中(如图1)，PB＝3，DC＝1，PD＝BC＝2，A为PB边上一点，且PA＝1，将△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD(如图2)．

(1) 证明：平面PAD⊥平面PCD；

(2) 试在棱PB上确定一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分VPDCMA∶VMACB＝2∶1；

(3) 在点M满足(2)的情况下，判断直线PD是否平行面AMC. 图1

图2

解：(1) 证明：依题意知CD⊥AD，又∵

面PAD⊥面ABCD，

∴ DC⊥平面PAD.又面PCD，∴

平面PAD⊥平面PCD.

(2) 解：由(1)知PA⊥平面ABCD，∴

平面PAB⊥平面ABCD. 在PB上取一点M，作MN⊥AB，垂足为N，则

MN⊥平面ABCD，设MN＝h，

111h则VM—ABC＝S△ABC·h＝××2×1×h＝，

3323111＋21VP—ABC＝S△ABC·PA＝××1×1＝，

33221hh1－∶＝2∶1，解得h＝，

要使VPDCMA∶VMACB＝2∶1，即2332即M为PB的中点．

(3) 连结BD交AC于O.因为AB∥CD，AB＝2，CD＝1，由相似三角形易得BO＝2OD.∴

O不是BD的中心．

又∵ M为PB的中点，∴

在△PBD中，OM与PD不平行

∴ OM所在直线与PD所在直线相交．

又平面AMC，∴

直线PD与平面AMC不平行．

基础训练

1. 相交或异面

2. ②③

3. ②③④

4. 充分必要

例题选讲

例1

证明：(1) ∵ M，O分别是PB、AB的中点，

∴ MO∥PA，

又∵

平面PAC，平面PAC，

∴ MO∥平面PAC. (2) ∵

直线PA垂直于圆O所在的平面，

∴ PA⊥BC ∵ C是圆周上一点，AB是直径，∴ BC⊥AC. 又PA∩AC＝A，∴ BC⊥平面PAC. ∵

平面PBC，∴

平面PBC⊥平面PAC. 变式训练

如图，四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.

(1) 求证：PC⊥BC；

(2) 求点A到平面PBC的距离．

(1) 证明：因为PD⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PD⊥BC. 由∠BCD＝90°，得BC⊥DC. 又PD∩DC＝D，平面PCD，

平面PCD，所以BC⊥平面PCD，

因为平面PCD，故PC⊥BC.

(2) 解：如图，连结AC. 设点A到平面PBC的距离为h，因为AB∥DC，∠BCD＝90°，所以∠ABC＝90°，

从而由AB＝2，BC＝1，得△ABC的面积S△ABC＝1. 11由PD⊥平面ABCD及PD＝1，得三棱锥P—ABC的体积V＝S△ABC·PD＝，

33因为PD⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PD⊥DC. 2. 2又PD＝DC＝1，所以PC＝PD2＋DC2＝2. 由PC⊥BC，BC＝1，得S△PBC＝1121由V＝S△PBCh＝··h＝，∴ h＝2. 3323故点A到平面PBC的距离等于2. 点评：本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力．

例2

解：(1) 连结PQ，则PQ⊥AD，

由题意易得PQ＝33，SABCD＝. 22平面PAD，

∵

平面PAD⊥平面ABCD且交线为AD，PQ⊥AD，∴ PQ⊥平面ABCD，

11∴ VP—ABCD＝PQ·SABCD＝. 34(2) 存在，R为BC的中点．

取R为BC中点，连结MR，DR，DM，则BQ∥DR. ∵ BQ∥DR，平面DMR，平面DMR，∴ BQ∥平面DMR. 因此，R为BC中点，当t∈(0,1)时，总有BQ∥平面MDR，反之也成立．

变式训练

如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3a，BC＝2a，D是

BC的中点，E为AB的中点，F是C1C上一点，且CF＝2a. (1) 求证：C1E∥平面ADF；

(2) 试在BB1上找一点G，使得CG⊥平面ADF；

(3) 求三棱锥D—AB1F的体积．

(1) 证明：∵

AB＝AC，D为BC中点，又E为AB的中点，连结CE交AD于O，连COCF2结FO，易知＝＝，故FO∥C1E. CECC13又平面AFD，C1平面AFD，

故C1E∥平面AFD. (2) 解：在平面C1CBB1内，过C作CG⊥DF，交B1B于G. 在Rt△FCD和Rt△CBG中，

FC＝CB，∠CFD＝∠BCG，

故Rt△FCD≌Rt△CBG. 而AD⊥BC，CC1⊥AD且CC1∩CB＝C，

故AD⊥平面C1CBB1. 而平面C1CBB1，故AD⊥CG. 又CG⊥DF，AD∩FD＝D，

故CG⊥平面ADF，此时BG＝CD＝a. (3) 解：∵ AD⊥平面BCC1B1，

1∴ VD—AB1F＝VA—B1DF＝·S△B1DF·AD 31152a3＝×B1F·FD·AD＝. 323

例3

解：(1) 如图，在DD1上取点N，使DN＝1，连结EN，CN，

则AE＝DN＝1，CF＝ND1＝2. 因为AE∥DN，ND1∥CF，所以四边形ADNE，CFD1N都为平行四边形．

从而EN又因为ADAD，FD1∥CN. BC，所以ENBC，故四边形BCNE是平行四边形，由此推知CN∥BE，从而FD1∥BE.因此，E、B、F、D1四点共面．

(2) 如图，GM⊥BF，又BM⊥BC，

所以∠BGM＝∠CFB，

BM＝BG·tan∠BGM＝BG·tan∠CFB BC23＝BG·＝×＝1. CF32因为AEBM，所以ABME为平行四边形，

从而AB∥EM. 又AB⊥平面BCC1B1，所以EM⊥平面BCC1B1. 例4

(1) 证明：(证法1)取线段AC的中点M，连结MF、MB.

因为F为AD的中点，

1所以MF∥CD，且MF＝CD. 2在折叠前，四边形ABCD为矩形，

E为AB的中点，

1所以BE∥CD，且BE＝CD. 2所以MF∥BE，且MF＝BE. 所以四边形BEFM为平行四边形，故EF∥BM. 又平面ABC，平面ABC，

所以EF∥平面ABC. (证法2)延长DE交CB的延长线于点N，

连结AN. 在折叠前，四边形ABCD为矩形，

E为AB的中点，

1所以BE∥CD，且BE＝CD. 2所以∠NBE＝∠NCD，∠NEB＝∠NDC. 所以△NEB∽△NDC. NEBE1所以＝＝，即E为DN的中点．

NDCD2又F为AD的中点，

所以EF∥NA. 又平面ABC，平面ABC，

所以EF∥平面ABC. (证法3)取CD的中点O，连结OE、OF.

折叠前，四边形ABCD为矩形，

E为AB的中点，

1所以BE∥CD，且BE＝CD. 2所以BE∥CO，且BE＝CO. 所以四边形BEOC为平行四边形．

所以EO∥BC. 又平面ABC，平面ABC，

所以EO∥平面ABC. 因为F、O分别为AD、CD的中点，所以FO∥AC. 又平面ABC，平面ABC，

所以FO∥平面ABC. 又FO、平面FEO，FO∩EO＝O，

所以平面FEO∥平面ABC. 因为平面EOF，所以EF∥平面ABC. (2) 解：(解法1)在折叠前，四边形ABCD为矩形，AD＝2，AB＝4，E为AB的中点，

所以△ADE、△CBE都是等腰直角三角形，且AD＝AE＝EB＝BC＝2，

所以∠DEA＝∠CEB＝45°，且DE＝EC＝22. 又∠DEA＋∠DEC＋∠CEB＝180°，

所以∠DEC＝90°.CE⊥DE，

又平面ADE⊥平面BCDE，

平面ADE∩平面BCDE＝DE，平面BCDE，

所以CE⊥平面ADE，即CE为三棱锥C—EFD的高．

因为F为AD的中点，

111所以S△EFD＝××AD·AE＝×2×2＝1. 2241122所以四面体FDCE的体积V＝×S△EFD·CE＝×1×22＝. 333(解法2)过F作FH⊥DE，H为垂足．

因为平面ADE⊥平面BCDE，

平面ADE∩平面BCDE＝DE，所以FH⊥平面BCDE，

平面ADE，

即FH为三棱锥F—ECD的高．

在折叠前，四边形ABCD为矩形，

且AD＝2，AB＝4，E为AB的中点，

所以△ADE是等腰直角三角形．

又F为AD的中点，所以DF＝1. 所以FH＝DF·sin45°＝2. 211又S△EDC＝×CD·BC＝×4×2＝4，

2211222所以四面体FDCE的体积V＝×S△EDC·FH＝×4×＝. 3323

(解法3)过A作AG⊥DE，G为垂足．

因为平面ADE⊥平面BCDE，

平面ADE∩平面BCDE＝DE，平面ADE，

所以AG⊥平面BCDE，

即AG为三棱锥A—ECD的高．

在折叠前，四边形ABCD为矩形，

且AD＝2，AB＝4，E为AB的中点，

所以△ADE是等腰直角三角形．

所以AG＝AD·sin45°＝2. 11又S△EDC＝×DC·BC＝×4×2＝4，

221142所以三棱锥A—ECD的体积VA—ECD＝×S△EDC·AG＝×4×2＝. 3331因为F为AD的中点，所以S△EFD＝S△EAD. 21122所以V三棱锥C—EFD＝V三棱锥C—EAD＝VA—ECD＝. 22322即四面体FDCE的体积为. 3(说明：在第(2)问中，可以证明AD⊥AC；求点D到平面EFC的距离) 高考回顾

11. 2

解析：EF∥AC，EF＝AC，AC＝22，∴ EF＝2. 22. ①④

3. ①②

4. ④

5. 证明：(1) 因为E、F分别是AP、AD的中点，

∴ EF∥PD.又∵

面PCD，面PCD，

∴

直线EF∥平面PCD. (2) 连结BD，∵ AB＝AD，∠BAD＝60°，∴

△ABD为正三角形．

又F是AD的中点，∴ BF⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，∴ BF⊥面PAD，

又面BEF，所以，平面BEF⊥平面PAD. 6. (1) 证明：由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA，

所以PD⊥平面ABCD，又平面ABCD. 所以PD⊥BC. 因为四边形ABCD为正方形，所以BC⊥DC，

又PD∩DC＝D，因此BC⊥平面PDC，

在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，所以GF∥BC. 因此GF⊥平面PDC.又平面EFG，所以平面EFG⊥平面PDC. (2) 解：因为PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，不妨设MA＝1，

则PD＝AD＝2，

18所以VP—ABCD＝S正方形ABCD·PD＝. 33由于DA⊥面MAB，且PD∥MA，所以DA即为点P到平面MAB的距离

2三棱锥VP—MAB＝，

3所以VP—MAB∶VP—ABCD＝1∶4.