习题2.2ppt课件教学实录

高考资源网（ks5u.com）

您身边的高考专家

专题强化训练(一) 空间几何体及点、线、面的位置关系

(建议用时：45分钟) [学业达标练] 一、选择题

1．下列说法中正确的是

(

) A．若直线m∥平面α，直线n⊥平面β，且平面α⊥平面β，则直线m⊥直线n

B．两个平面一定将空间分成四部分

C．已知异面直线a，b所成的角为45°，若a⊥平面α，b⊥平面β，则平面α与平面β所成的角为135°

D．若平面α∥平面β，直线a⊄平面α，直线a⊄平面β，直线a∥平面α，则直线a∥平面β

D

[A中，m与n可能平行，可能相交，也可能异面，可知A不正确；B中，当两个平面平行时，将空间分为三部分，可知B不正确；C中，根据异面直线所成的角与二面角的平面角的定义，可知平面α和平面β所成的角与异面直线a，b所成的角相等或互补，所以两个平面所成的角为45°或135°，C不正确；D中，由空间面面平行和线面平行的性质定理，可知D正确．故选D.] 2．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是么该三棱柱的体积是(

) A．963

C．243

B．163 D．483 32π，那3D

[用平行于棱柱底面的平面去截棱柱和球，截面如图所示：

4π32π设球的半径为R，则R3＝，所以R＝2. 33所以正三棱柱底面边长a＝43，

其高h＝2R＝4，V＝3×(43)2×4＝483.] 43．已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，高考资源网版权所有，侵权必究！

高考资源网（ks5u.com）

您身边的高考专家

AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的表面积为(

)

【导学号：07742188】

A．153π

B．160π

C．169π

D．360π

C

[由于直三棱柱的底面是直角三角形，所以可以把此三棱柱补成长方体，122213其体对角线就是外接球的直径，所以球O的半径R＝23＋4＋12＝2，所以13球O的表面积S＝4π×2＝169π，故选C.] 4．如图15，∠C＝90°，AC＝BC，M，N分别是BC，AB的中点，沿直线MN将△BMN折起至△B′MN位置，使二面角B′-MN-B的大小为60°，则B′A与平面ABC所成角的正切值为(

) 2

图15 2433A．5

B．5

C．5

D．5

C

[设BC＝2.过B′作B′D⊥BC，垂足为D(图略)，则B′D⊥平面ABC，连接AD，则∠B′AD是B′A与平面ABC所成的角．由题意，知∠B′MB＝60°，13MB′＝MB＝1，则MD＝2，B′D＝2，AD＝3B′D23∴tan∠B′AD＝AD＝5＝5.] 5．如图1-11，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是

(

) 151＋2

＋22＝，

22

图1-11 高考资源网版权所有，侵权必究！

高考资源网（ks5u.com）

您身边的高考专家

A．AC⊥SB

B．AB∥平面SCD

C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

D

[选项A正确，因为SD垂直于平面ABCD，而AC在平面ABCD内，所以AC垂直于SD；再由ABCD为正方形，所以AC垂直于BD，而BD与SD相交，所以AC垂直于平面SBD，进而垂直于SB.

选项B正确，因为AB平行于CD，而CD在平面SCD内，AB不在平面SCD内，所以AB平行于平面SCD. 选项C正确，设AC与BD的交点为O，连接SO，则SA与平面SBD所成的角就是∠ASO，SC与平面SBD所成的角就是∠CSO，易知这两个角相等．

选项D错误，AB与SC所成的角等于∠SCD，而DC与SA所成的角是∠SAB，这两个角不相等．] 二、填空题

6．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为________．

14

[设圆台的母线长为l，上、下底面半径分别为r，R，则l＝2(r＋R)，

又32π＝π(r＋R)l＝2πl2，所以l2＝16，所以l＝4.] 7．如图1-12，半径为2的半球内有一个内接正六棱锥P-ABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是________.

【导学号：07742189】

图1-12 67

[显然正六棱锥P-ABCDEF的底面的外接圆是球的一个大圆，由已知，可得大圆的半径为2.易得其内接正六边形的边长为2.又正六棱锥P-ABCDEF的高考资源网版权所有，侵权必究！

高考资源网（ks5u.com）

您身边的高考专家

1高为2，则斜高为2＋3＝7，所以该正六棱锥的侧面积为6×2×2×7＝2267.] 8．已知A是锐二面角α-l-β中α内一点，AB垂直β于点B，AB＝3，点A到l的距离为2，则二面角α-l-β的平面角的大小为________．

60°

[过点A作l的垂线，设垂足为C，连接BC(图略)．由于AB⊥β，则△ABC3为直角三角形，∠ACB就是锐二面角α-l-β的平面角．易得sin∠ACB＝2，因此∠ACB＝60°，即二面角α-l-β的平面角的大小是60°.] 三、解答题

9．如图1-13，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，O是底面ABCD对角线的交点．

图1-13 求证：(1)C1O∥面AB1D1；

(2)A1C⊥面AB1D1. [证明]

(1)如图，连接A1C1，设A1C1∩B1D1＝O1，连接AO1，

∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，

∴A1ACC1是平行四边形，

∴A1C1∥AC且A1C1＝AC，

又O1，O分别是A1C1，AC的中点，

∴O1C1∥AO且O1C1＝AO，

∴四边形AOC1O1是平行四边形，

∴C1O∥AO1，AO1⊂面AB1D1，C1O⊄面AB1D1，

∴C1O∥面AB1D1. (2)∵CC1⊥面A1B1C1D1，

∴CC1⊥B1D1，

又∵A1C1⊥B1D1，

高考资源网版权所有，侵权必究！

高考资源网（ks5u.com）

您身边的高考专家

∴B1D1⊥面A1C1CA，

即A1C⊥B1D1，同理可证A1C⊥AB1，

又B1D1∩AB1＝B1，∴A1C⊥面AB1D1. 10．如图1-14，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD，PC的中点.

【导学号：07742190】

图1-14 求证：(1)PA⊥底面ABCD；

(2)BE∥平面PAD；

(3)平面BEF⊥平面PCD. [证明]

(1)∵平面PAD∩平面ABCD＝AD. 又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD. ∴PA⊥底面ABCD. (2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，

∴AB∥DE，且AB＝DE. ∴四边形ABED为平行四边形，∴BE∥AD. 又BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，

∴BE∥平面PAD. (3)∵AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形．

∴BE⊥CD，AD⊥CD. 由(1)知PA⊥底面ABCD，则PA⊥CD，

∵PA∩AD＝A，

∴CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD，

又E，F分别为CD，CP的中点，

∴EF∥PD，故CD⊥EF. ∵EF，BE⊂平面BEF，且EF∩BE＝E，

高考资源网版权所有，侵权必究！

高考资源网（ks5u.com）

您身边的高考专家

∴CD⊥平面BEF. 又CD⊂平面PCD，

∴平面BEF⊥平面PCD. [冲A挑战练] 1．已知四棱锥S-ABCD的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于8＋83，则球O的体积等于(

) 32πA．3

C．16π

B．322π3

162π3

D．A

[依题意，设球O的半径为R，四棱锥S-ABCD的底面边长为a、高为h，1则有h≤R，即h的最大值是R.又AC＝2R，则四棱锥S-ABCD的体积VS-＝ABCD332R×2R2h≤3.因此，当四棱锥S-ABCD的体积最大，即h＝R时，其表面积等于(212R)＋4×2×2R×4πR332π3＝3，选A.] 2R

＋R2＝8＋83，解得R＝2，因此球O的体积等于222．如图1-15所示，点P在正方形ABCD所在的平面外，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，则异面直线PB与AC所成的角是(

) A．90°

C．45°

B．30°

D．60°

图1-15 D

[连接BD交AC于点O，连接PD，取PD的中点Q，连接OQ，AQ(图略)，则OQ∥PB.设正方形ABCD的边长为a.因为PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，所以PD＝PB＝DB＝AC＝2a.因为在△DBP中，O，Q分别是边BD，PD的中高考资源网版权所有，侵权必究！

高考资源网（ks5u.com）

您身边的高考专家

PB2a2a2a点，所以OQ＝2＝2.在△ADP中，AQ＝2，又OA＝2，所以△AOQ是等边三角形，所以∠AOQ＝60°.因为OQ∥PB，所以异面直线PB与AC所成的角为60°.] 3．在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为________．

27

[连接CM，则由题意知PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝PC2＋CM2，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，3在△ABC中，当CM⊥AB时，CM有最小值，此时有CM＝4×2＝23，所以PM的最小值为27.] 4．如图1-16，正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，已知△A′ED是△AED绕DE翻折过程中的一个图形，现给出下列四个命题：

图1-16 ①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；

②恒有平面A′GF⊥平面BCED；

③三棱锥A′-FED的体积有最大值；

④直线A′E与BD不可能垂直．

其中正确命题的序号是________.

【导学号：07742191】

①②③

[对于命题①，由题意，知A′G⊥DE，FG⊥DE，A′G∩FG＝G，故DE⊥平面A′FG.又DE⊂平面ABC，所以平面A′FG⊥平面ABC，故该命题正确；对于命题②，由①可知正确；对于命题③，当A′G⊥平面ABC时，三棱锥A′-FED的体积有最大值，故命题③正确；对于命题④，当A′E在平面ABC上的射影与直线BD垂直时，易证A′E与BD垂直，故该命题不正确．] 5．由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图1-17所示．四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥高考资源网版权所有，侵权必究！

高考资源网（ks5u.com）

您身边的高考专家

平面ABCD.

图1-17 (1)证明：A1O∥平面B1CD1；

(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1. [证明]

(1)取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1，

由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱，

所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，

因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1O∥O1C. 又O1C⊂平面B1CD1，A1O⊄平面B1CD1，

所以A1O∥平面B1CD1.

(2)因为AC⊥BD，E，M分别为AD和OD的中点，

所以EM⊥BD. 又A1E⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

所以A1E⊥BD. 因为B1D1∥BD，

所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1. 又A1E，EM⊂平面A1EM，A1E∩EM＝E，

所以B1D1⊥平面A1EM. 又B1D1⊂平面B1CD1，

所以平面A1EM⊥平面B1CD1.

高考资源网版权所有，侵权必究！