习题3.1教学设计实例

第三章

直线与方程

3.1.1

倾斜角与斜率

《直线的倾斜角和斜率》一节是解析几何的入门课，担负着开启全章的重任，因此在本课时的教学中不但要落实显性知识，更重要的是要揭示隐性知识：研究解析几何的基本方法——坐标法。

课程目标

A.理解直线的倾斜角与斜率的概念；

B.掌握倾斜角与斜率的对应关系；

C.掌握过两点的直线的斜率公式；

D.通过直角坐标系将几何问题转化为代数问题，培养学生利用代数解决几何问题的能力。

1.教学重点：直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线的斜率公式. 2.教学难点：斜率概念的学习，过两点的直线的斜率公式.

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一、复习准备：

1. 讨论：在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢? 2. 在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭,有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢? 二、讲授新课：

1.

教学直线倾斜角与斜率的概念：

我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?

1 学科素养

1.数学抽象：直线的倾斜角与斜率的概念；

2.逻辑推理：过两点的直线的斜率公式的推导；

3.数学运算：用直线的斜率公式解决相关问题；

4.直观想象：了解数形结合、分类讨论的数学思想方法；

5.数学建模：通过直角坐标系将几何问题转化为代数问题，培养学生利用代数解决几何问题的能力。

(1)它们都经过点P.

(2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同? 引入直线的倾斜角的概念: ①

直线倾斜角的概念：

x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角

注意:当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.。

讨论:倾斜角的取值范围是什么呢?

0°≤α＜180°.

因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.

直线a∥b∥c, 那么它们的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线. 确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点P和一个倾斜角α..

问题:在表示直线的倾斜程度时，除了用倾斜角之外，

还有没有其他的表示方法呢？（生活实例）

2

②

直线斜率的定义：

定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：k=tana（a为直线的倾斜角且a≠90°）

注意：倾斜角为90°时，斜率不存在。当斜率不存在时，直线是有倾斜角的，且为90°

思考：1.倾斜角为90°时，为什么没有斜率？

2.如果一条直线没有斜率，是不是就没有倾斜角？

ktan451

例如：直线l的倾斜角为45,则斜率为：3直线l的倾斜角为150,则斜率为：ktan1203

3

问题：斜率可以利用倾斜角的大小求出，那么是不是每次求斜率时，必须先求倾斜角？我们知道，两点也可以唯一确定一条直线。

思考：如果知道直线上的两点，怎样求直线的斜率(倾斜角)呢？

请同学们交流探究（教师在教室内巡视，让做的好的回答，也可以让学生把结果拿到展台上展示）

教师通过信息技术加以验证. 给出公式：

(x,y1)，P2(x2,y2)的直线的斜率公式为

经过两点P11

深化公式：

【问题】

ky2y1(x1x2)

x2x1(x,y1)，P2(x2,y2)

已知直线上两点P11（1）当y1y2时，能用公式求直线的斜率吗？

（2）当x1x2时，能用公式求直线的斜率吗？

（3）当x1x2时，直线的斜率与两点坐标的顺序有关系吗？

4

11斜率公式：经过两点

1

2

2P(x,y),P(x,y2)的直线的斜率公式：

ky2y1(x1x2).x2x1公式特点：(1)与两点坐标的顺序无关.(2)公式表明,直线的斜率可以通过直线上任意两点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角. (3)当x1=x2时,公式不适用,此时α=90°.

例1．已知

A（3，2），B（-4，1），C（0，-1）求直线AB、AC、BC的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角. 例2．在平面直角坐标系中画出经过原点且斜率分别为

1,2,3的直线l1,l2,l3. 例3．已知三点A（a，2）、B（5，1）、C（-4，2a）在同一直线上，求a的值。（三、达标检测

1．斜率不存在的直线一定是(

) A．过原点的直线

B．垂直于x轴的直线

C．垂直于y轴的直线

D．垂直于过原点的直线

【解析】

只有直线垂直于x轴时，其倾斜角为90°，斜率不存在．

【答案】

B 2．若过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y等于(

) A．－33

B.

C．－1

D．1 227）

2y＋3y＋3【解析】

kAB＝＝tan 45°＝1，即＝1，∴y＝－1. 24－2【答案】

C 3．如图3-1-2中α能表示直线l的倾斜角的是________．

图3-1-2 【解析】

结合直线l的倾斜角的定义可知①可以．

5

【答案】

①

4．如图3-1-3所示，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3之间的大小关系为________．

图3-1-3 【解析】

设l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由图可知0<α3<α2<90°<α1<180°，

所以tan α2>tan α3>0，tan α1<0，故k1

k1

5．已知A(1,1)，B(3,5)，C(a,7)，D(－1，b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k及a，b的值．

【解】

由题意可知k－17－1b－1bAB＝53－1＝2，k6－1AC＝a－1＝a－1，kAD＝－1－1＝－2，

所以k＝2＝6a－1＝b－1－2，解得a＝4，b＝－3，

所以直线的斜率k＝2，a＝4，b＝－3.

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