1.2.1 充分条件与必要条件优质公开课教案

1.2.1充分条件与必要条件

教学目标：1. 理解充分条件、必要条件、充要条件的意义. 2. 会求（判定）某些简单命题的条件关系. 重点，难点：1. 利用四中命题与充分条件，必要条件，充要条件的关系解决某些

数学问题

2. 寻求判定某些简单命题的条件

知

识

梳

理

1．四种命题及其关系

(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．

②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系．

2．充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p⇒q，则p是q的充分

条件，q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件

p是q的必要不充分条件

p是q的充要条件

p是q的既不充分也不必要条件

辨

析

感

悟

1．对四种命题的认识

ππ(1)(2012·湖南卷改编)命题“若α＝4，则tan α＝1”的否命题是“若α＝4，则

tan α≠1”．(×) (2)若原命题“若p，则q”为真，则在这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中真命题的个数为1或2.(×) (3)命题“若x2－3x＋2＞0，则x＞2或x＜1”的逆否命题是“若1≤x≤2，则x2－3x＋2≤0”．(√) 2．对充分条件、必要条件的理解

p⇒q且q⇒/

p

p⇒/

q且q⇒p

p⇔q

p⇒/

q且q⇒/

p

(4)给定两个命题p，q.若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．(√) (5)“(2x－1)x＝0”的充分不必要条件是“x＝0”．(√) 1(6)在△ABC中，“A＝60°”是“cos A＝2”的充分不必要条件．(×) [感悟·提升] 1．一个区别

否命题与命题的否定是两个不同的概念．否命题同时否定原命题的条件和结论，命题的否定仅仅否定原命题的结论(条件不变)，如(1)把否命题错看成是命题的否定．

2．三个防范

一是分清命题中的条件和结论，并搞清楚其中的关键词，如“≠”与“＝”，“＞”与“≤”，“且”与“或”，“是”与“不是”，“都不是”与“至少一个是”，“都是”与“不都是”等互为否定，如(3)．

二是弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B⇒A，且A⇒/ B，如(5)；而“A是B的充分不必要条件”则是指A⇒B且B⇒/ A，如(6)．

三是注意题中的大前提，如(6).

考点一

命题及其相互关系

【例1】

已知：命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是(

)．

A．否命题是“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题

B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题

C．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题

D．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题

解析

由f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝ex－m≥0恒成立，

∴m≤1.∴命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”

是真命题．

答案

D 规律方法

(1)在判断四种命题的关系时，首先要分清命题的条件与结论，当确定了原命题时，要能根据四种命题的关系写出其他三种命题．

(2)当一个命题有大前提时，若要写出其他三种命题，大前提需保持不变．

(3)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出反例．

(4)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．

【训练1】

(2013·吉林白山二模)命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是(

)．

A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0 B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0 C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0 D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0 解析

“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D. 答案

D 考点二

充分条件、必要条件的判断

【例2】

(1)(2013·福建卷)设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的(

)．

A．充分而不必要条件

C．充分必要条件

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

(2)(2013·济南模拟)如果a＝(1，k)，b＝(k,4)，那么“a∥b”是“k＝－2”的(

)．

A．充分不必要条件

C．充分必要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析

(1)当x＝2且y＝－1时，满足方程x＋y－1＝0，

但方程x＋y－1＝0有无数多个解，不能确定x＝2且y＝－1，∴“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l上”的充分而不必要条件．

(2)因为a∥b，所以1×4－k2＝0，即4＝k2，所以k＝±2.所以“a∥b”是“k＝－2”

的必要不充分条件．

答案

(1)A

(2)B

规律方法

判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．

1【训练2】

已知条件p：x≤1，条件q：x＜1，则綈p是q的(

)．

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．即不充分也不必要条件

11解析

由x＞1，得x＜1；反过来，由x＜1，不能得知x＞1，即綈p是q的充分不必要条件．

答案

A 考点三

充分条件、必要条件的探求

【例3】

(1)若集合A＝{x|x2－x－2＜0}，B＝{x|－2＜x＜a}，则“A∩B≠∅”的充要条件是(

)．

A．a＞－2

C．a＞－1

B．a≤－2

D．a≥－1 log2x，x＞0，(2)函数f(x)＝x有且只有一个零点的充分不必要条件是(

)．

2－a，x≤0A．a≤0或a＞1

1C.2＜a＜1

1B．0＜a＜2

D．a＜0

审题路线

(1)A∩B≠∅⇔A与B有交集．

(2)先求函数f(x)有且只有一个零点的充要条件M⇒由选项推出M成立的充分条件⇒结合选项可得结论

解析

(1)A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|－2＜x＜a}，如图所示：

∵A∩B≠∅，∴a＞－1. log2

x，x＞0，(2)因为f(x)＝x有且只有一个零点的充要条件为a≤0或a＞1.由选2－a，x≤0项可知，使“a≤0或a＞1”成立的充分条件为选项D. 答案

(1)C

(2)D 规律方法

有关探求充要条件的选择题，破题关键是：首先，判断是选项“推”题干，还是题干“推”选项；其次，利用以小推大的技巧，即可得结论．

【训练3】

“直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是(

)．

A．－1＜k＜3

C．0＜k＜3

B．－1≤k≤3 D．k＜－1或k＞3 |1－0－k|2

解析

“直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点”等价于＜2，解得k∈(－1,3)．四个选项中只有(0,3)是(－1,3)的真子集，故充分不必要条件可以是0＜k＜3. 答案

C

1．当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其中一个(或几个)作为大前提．

2．数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都是真的．

3．命题的充要关系的判断方法

(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．

(2)等价法：利用A⇒B与非B⇒非A，B⇒A与非A⇒非B，A⇔B与非B⇔非A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

(3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的

必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件.

课堂作业

1.习题1.2A组3 2.<<创新方案>>第7页例1 3.已知

，

是

的什么条件

，试判断。

p:x2,q:x1q思想方法1——等价转化思想在充要条件关系中的应用

px－1≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，且綈p是綈q【典例】

已知p：1－3的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．

解

法一

由q：x2－2x＋1－m2≤0，

得1－m≤x≤1＋m，

∴綈q：A＝{x|x＞1＋m或x＜1－m，m＞0}，

x－1≤2，

由p：1－3解得－2≤x≤10，

∴綈p：B＝{x|x＞10或x＜－2}．

∵綈p是綈q的必要而不充分条件．

∴Am＞0，B，∴1－m＜－2，1＋m≥10，

m＞0，或1－m≤－2，1＋m＞10，

即m≥9或m＞9.∴m≥9. 故实数m的取值范围是[9，＋∞)．

法二

∵綈p是綈q的必要而不充分条件，

∴p是q的充分而不必要条件，

由q：x2－2x＋1－m2≤0，得1－m≤x≤1＋m，

∴q：Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}，

x－1≤2，

由p：1－3

解得－2≤x≤10，

∴p：P＝{x|－2≤x≤10}．

∵p是q的充分而不必要条件，

∴Pm＞0，Q，∴1－m＜－2，1＋m≥ 10，

m＞0，或1－m≤－2，1＋m＞10，

即m≥9或m＞9.∴m≥9. 故实数m的取值范围是[9，＋∞)．

[反思感悟]

本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．

【自主体验】

1．(2013·山东卷)给定两个命题p，q.若p是q的必要而不充分条件，则p是q的(

)．

A．充分而不必要条件

C．充分必要条件

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析

由q⇒p且p⇒/ q可得p⇒q且q⇒/ p，所以p是q的充分而不必要条件．

答案

A 2．已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且q的一个充分不必要条件是p，则a的取值范围是(

)．

A．[1，＋∞)

C．[－1，＋∞)

B．(－∞，1] D．(－∞，－3] 解析

由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由q的一个充分不必要条件是p，可知p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．故a≥1. 答案

A