1.2.1 充要条件国家优质课一等奖

学习目标

1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明.

知识点一

充分条件与必要条件

思考

用恰当的语言表述下列语句的意义. ①一个人如果骄傲自满，那么就必然落后；

②只有同心协力，才能把事情办好. 答案

①如果不骄傲自满，那就可能不落后，也可能落后，骄傲自满是落后的充分条件. ②同心协力是办好事情的必要条件. 梳理

(1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件. (2)若p⇒q，但q⇏p，称p是q的充分而不必要条件，若q⇒p，但p⇏q，称p是q的必要而不充分条件. 知识点二

充要条件

思考

在△ABC中，角A、B、C为它的三个内角，则“A、B、C成等差数列”是“B＝60°”的什么条件？

答案

因为A、B、C成等差数列，故2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°，故B＝60°，反之，亦成立，故“A、B、C成等差数列”是“B＝60°”的充分必要条件. 梳理

(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件. (2)充要条件的实质是原命题“若p，则q”和其逆命题“若q，则p”均为真命题，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件. (3)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件. 若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件

若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件

若A＝B，则p，q互为充要条件

若A⊈B且B⊈A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}.

类型一

判断充分条件、必要条件、充要条件

命题角度1

在常见数学问题中的判断

例1

下列各题中，p是q的什么条件？

(1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；

(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；

(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；

(4)p：m<－1，q：x2－x－m＝0无实根；

(5)p：ab≠0，q：直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交. 解

(1)∵a＋b＝0⇏a2＋b2＝0；

a2＋b2＝0⇒a＋b＝0，

∴p是q的必要不充分条件. (2)∵四边形的对角线相等⇏四边形是矩形；

四边形是矩形⇒四边形的对角线相等，

∴p是q的必要不充分条件. (3)∵x＝1或x＝2⇒x－1＝x－1；

x－1＝x－1⇒x＝1或x＝2，∴p是q的充要条件. (4)若方程x2－x－m＝0无实根，则Δ＝1＋4m<0，

111即m<－.∵m<－1⇒m<－；m<－⇏m<－1，

444∴p是q的充分不必要条件. (5)由ab≠0，即a≠0且b≠0，此时直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交；又当ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交时，a≠0且b≠0，即ab≠0，故p是q的充要条件. 反思与感悟

判断充分条件和必要条件的方法：一、定义法；二、等价命题法，原命题与其逆否命题是“同真同假”的等价命题，这一点在充要条件的判断中经常用到；三、集合法，

P是Q的充分不必要条件⇔集合PQ，P是Q的必要不充分条件⇔集合PQ，P是Q的充要条件⇔集合P＝Q，P是Q的既不充分也不必要条件⇔集合P⊈Q，且P⊉Q；四、传递法，对于较复杂的关系，常用⇒，⇐，⇏等符号进行传递，画出它们的综合结构图，可降低解题难度. 跟踪训练1

指出下列各题中，p是q的什么条件？

(1)p：ax2＋ax＋1>0的解集是R，q：0

6(2)p：|x－2|<3，q：<－1；

x－5(3)p：A∪B＝A，q：A∩B＝B；

α>2，α＋β>4，(4)p：q：

αβ>4.β>2，

解

(1)当a＝0时，1>0满足题意；

2Δ＝a－4a<0，当a≠0时，由可得00，

故p是q的必要不充分条件. (2)易知p：－1

所以p是q的充要条件. (3)因为A∪B＝A⇔A∩B＝B，所以p是q的充要条件. α>2，(4)由根据同向不等式相加、相乘的性质，

β>2，α＋β>4，α>2，α＋β>4，有即p⇒q.但⇏

αβ>4αβ>4，β>2，α＋β＝6>4，比如，当α＝1，β＝5时，而α<2，

αβ＝5>4，

所以q⇏p，所以p是q的充分不必要条件. 命题角度2

在实际问题中的判断

例2

如图所示的电路图中，“闭合开关A”是“灯泡B亮”的什么条件？

解

如题图(1)，闭合开关A或者闭合开关C都可能使灯泡B亮.反之，若要灯泡B亮，不一定非要闭合开关A.因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的充分不必要条件.如题图(2)，闭合开关A而不闭合开关C，灯泡B不亮.反之，若要灯泡B亮，则开关A必须闭合，说明“闭合开关A”是“灯泡B亮”的必要不充分条件.如题图(3)，闭合开关A可使灯泡B亮，而灯泡B亮，开关A一定是闭合的，因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的充要条件.如题图(4)，闭合开关A但不闭合开关C，灯泡B不亮.反之，灯泡B亮也可不必闭合开关A，只要闭合开关C即可，说明“闭合开关A”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件. 反思与感悟

“充分”的含义是“有它即可”，“必要”的含义是“无它不可”.用日常生活中的现象来说明“条件”和“结论”之间的关系，更容易理解和接受.用“条件”和“结论”之间的关系来解释生活中的现象，更加明白、透彻. 跟踪训练2

俗语云“好人有好报”，“好人”是“有好报”的(

) A.充分条件

C.既不充分也不必要条件

答案

A 解析

结合该俗语的文化背景，易得选项A符合人们的认识实际. 类型二

充要条件的探求与证明

命题角度1

充要条件的探求

例3

求ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是什么？

1解

(1)当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，即x＝－，符合要求. 2(2)当a≠0时，ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，它有实根的充要条件是Δ≥0，即4－4a≥0，∴a≤1. B.必要条件

D.无法判断

Δ≥0，2①方程ax＋2x＋1＝0只有一个负根的充要条件是即1x1x2<0，<0，

a≤1，a

∴a<0. Δ≥0，②方程ax2＋2x＋1＝0有两个负根的充要条件是x1＋x2<0，x1x2>0，

－2<0，即a1a>0，a≤1，

∴0

探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件⇒结论”和“结论⇒条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件. 跟踪训练3

已知数列{an}的前n项和Sn＝(n＋1)2＋t(t为常数)，试问t＝－1是否为数列{an}是等差数列的充要条件？请说明理由.

解

是充要条件. (充分性)当t＝－1时，Sn＝(n＋1)2－1＝n2＋2n. a1＝S1＝3，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1. 又a1＝3适合上式，

∴an＝2n＋1(n∈N*)，

又∵an＋1－an＝2(常数)，

∴数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列. 故t＝－1是{an}为等差数列的充分条件. (必要性)∵{an}为等差数列，

则2a2＝a1＋a3，解得t＝－1，

故t＝－1是{an}为等差数列的必要条件. 综上，t＝－1是数列{an}为等差数列的充要条件. 命题角度2

充要条件的证明

例4

已知A，B是直线l上的任意两点，O是直线l外一点，求证：点P在直线l上的充要→→→条件是OP＝xOA＋yOB，其中x，y∈R，且x＋y＝1. →→→证明

①充分性：若点P满足OP＝xOA＋yOB，其中x，y∈R，且x＋y＝1，消去y，得

→→→→→→OP＝xOA＋(1－x)OB＝x(OA－OB)＋OB，

→→→→→→∴OP－OB＝x(OA－OB)，即BP＝xBA. ∴点P在直线AB上，即点P在直线l上. ②必要性：设点P在直线l上，则由共线向量基本定理知，

→→→→存在实数t，使得AP＝tAB＝t(OB－OA)，

→→→→→→→→∴OP＝OA＋AP＝OA＋tOB－tOA＝(1－t)OA＋tOB. →→→令1－t＝x，t＝y，则OP＝xOA＋yOB，其中x，y∈R，且x＋y＝1. 反思与感悟

证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”⇒“结论”，必要性需要证明“结论”⇒“条件”.

跟踪训练4

已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件. 证明

①充分性：∵a＋b＝1，∴b＝1－a，

∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0，

即a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.

②必要性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，

∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，

∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0. ∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，

∴a2－ab＋b2≠0. ∴a＋b－1＝0，∴a＋b＝1. 综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件. 类型三

利用充分条件、必要条件求参数的值(或范围) 例5

已知函数f(x)＝3－x＋22－x的定义域为A，g(x)＝lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1)的定义域为B. (1)求A；

(2)记p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 解

(1)要使f(x)有意义，则3－(x＋2)(2－x)≥0，

化简整理得(x＋1)(x－1)≥0，

解得x≤－1或x≥1，

∴A＝{x|x≤－1或x≥1}. (2)要使g(x)有意义，则(x－a－1)(2a－x)>0，

即(x－a－1)(x－2a)<0，

又∵a<1，∴a＋1>2a，

∴B＝{x|2a

∴BA，

∴2a≥1或a＋1≤－1，

1解得≤a<1或a≤－2. 21∴a的取值范围为(－∞，－2]∪[，1). 2反思与感悟

在有些含参数的充要条件问题中，要注意将条件p和q转化为集合，从而转化为两集合之间的子集关系，再转化为不等式(或方程)，从而求得参数的取值范围. 根据充分条件或必要条件求参数范围的步骤

(1)记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}；

(2)若p是q的充分不必要条件，则MN，若p是q的必要不充分条件，则NM，若p是q的充要条件，则M＝N；

(3)根据集合的关系列不等式(组)；

(4)求出参数的范围.

2x1跟踪训练5

设A＝{y|y＝x，x∈R}，B＝{y|y＝x＋m，x∈[－1，1]}，记命题p：“y∈A”，32＋1命题q：“y∈B”，若p是q的必要不充分条件，则m的取值范围为_____________. 12答案

(，) 3311解析

由题意知A＝(0，1)，B＝[m－，m＋]，依题意，得BA，

33故1m＋3<1，1m－>0，3

12∴

1.人们常说“无功不受禄”，这句话表明“受禄”是“有功”的(

) A.充分条件

C.充要条件

答案

A 解析

无功不受禄可写为命题：若无功，则不受禄.逆否命题为：若受禄，则有功.显然“受禄”是“有功”的充分不必要条件，因为有功不一定受禄. x－12.设命题p：x2－3x＋2<0，q：≤0，则p是q的(

) x－2A.充分不必要条件

C.充要条件

答案

A 解析

命题p：1

) A.充分不必要条件

C.充要条件

答案

B 解析

根据方程得x2－4x－5＝0，解得x＝－1或x＝5，故“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的必要不充分条件，故选B.

4.记不等式x2＋x－6<0的解集为集合A，函数y＝lg(x－a)的定义域为集合B.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为________. 答案

(－∞，－3] 解析

由于A＝{x|x2＋x－6<0}＝{x|－3a}，而“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则有AB，则有a≤－3. B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

B.必要条件

D.既不充分也不必要条件

5.“a＝0”是“直线l1：x－2ay－1＝0与l2：2x－2ay－1＝0平行”的________条件. 答案

充要

解析

(1)∵a＝0，∴l1：x－1＝0，l2：2x－1＝0，

∴l1∥l2，即a＝0⇒l1∥l2. (2)若l1∥l2，当a≠0时，

1111l1：y＝x－，l2：y＝x－. 2a2aa2a11令＝，方程无解. 2aa当a＝0时，l1：x－1＝0，l2：2x－1＝0，显然l1∥l2. ∴a＝0是直线l1与l2平行的充要条件.

充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法

(1)定义法：分清条件p和结论q，然后判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假，根据定义下结论. (2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题. (3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及集合B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断.

40分钟课时作业

一、选择题

1.“k2＝1”是“k＝－1”的(

) A.充分不必要条件

C.充要条件

答案

B 解析

k2＝1可得k＝±1，k＝－1一定有k2＝1. ∴“k2＝1”是“k＝－1”的必要不充分条件. 故选B. 2.已知向量a，b为非零向量，则“a⊥b”是“|a＋b|＝|a－b|”的(

) A.充分不必要条件

C.充要条件

答案

C 解析

|a＋b|2＝|a－b|2⇔a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b⇔a·b＝0. 3.已知圆O：x2＋y2＝1，直线l：ax＋by＋c＝0，则a2＋b2＝c2是圆O与直线l相切的(

) B.必要不充分条件

D.既不充分又不必要条件

B.必要不充分条件

D.既不充分又不必要条件

A.充分不必要条件

C.充要条件

答案

C 解析

由直线与圆相切得即直线与圆相切. B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

|c||c|222222＝1，即a＋b＝c；a＋b＝c时也有＝1成立，a2＋b2a2＋b24.设函数f(x)＝|log2x|，则f(x)在区间(m，2m＋1)(m>0)内不是单调函数的充要条件是(

) 11A.0

B.0

C.

D.m>1 22答案

B log2x，x≥1，解析

f(x)＝

－log2x，0

f(x)的图象在(0，1)内单调递减，

在(1，＋∞)内单调递增. 若f(x)在(m，2m＋1)(m>0)上不是单调函数，

m<1，则⇔01

5.设x∈R，则x>3的一个必要不充分条件是(

) A.x>1

B.x<1

C.x>4

D.x<4 答案

A 解析

x>3⇒x>1，但x>1⇏x>3. 6.设a1，b1，c1，a2，b2，c2均为非零实数，不等式a1x2＋b1x＋c1>0和a2x2＋b2x＋c2>0的解a1b1c1集分别是集合M和N，那么“＝＝”是“M＝N”的(

) a2b2c2A.充分不必要条件

C.充要条件

答案

D a1b1c1解析

若＝＝<0，则M≠N，

a2b2c2a1b1c1即＝＝⇏M＝N；

a2b2c2反之，若M＝N＝∅，

即两个一元二次不等式的解集为空集时，

只要求判别式Δ1<0，Δ2<0(a1<0，a2<0)，

而与系数之比无关. 二、填空题

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

7.在△ABC中，“sin A＝sin B”是“a＝b”的________条件. 答案

充要

解析

在△ABC中，由正弦定理及sin A＝sin B可得2Rsin A＝2Rsin B，即a＝b；反之也成立. 8.设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________. 答案

3或4 解析

由于方程有整数根，由判别式Δ＝16－4n≥0得1≤n≤4，逐个分析，当n＝1，2时，方程没有整数解；而当n＝3时，方程有正整数解1，3；当n＝4时，方程有正整数解2. 9.设p：1≤x<4，q：x

[4，＋∞) 解析

据题意知，p⇒q，则m≥4. 10.给出下列三个命题：

①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件；

②“α>β”是“cos α

③“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件. 其中正确命题的序号为________. 答案

③

解析

①∵函数y＝3x是R上的增函数，∴“a>b”是“3a>3b”的充分必要条件，故①错误；ππ②∵2π>，cos 2π>cos，∴α>β⇏cos α

22∴cos α

β⇏α>β.∴“α>β”是“cos α

③“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件，正确. 三、解答题

11.已知条件p：A＝{x|2a≤x≤a2＋1}，条件q：B＝{x|x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0}，若p是q的充分条件，求实数a的取值范围. 解

化简B＝{x|(x－2)[x－(3a＋1)]≤0}，

1①当a≥时，B＝{x|2≤x≤3a＋1}；

31②当a<时，B＝{x|3a＋1≤x≤2}. 3因为p是q的充分条件，所以A⊆B，

a≥3，于是有a＋1≤3a＋1，2a≥2，21

a<3，或a＋1≤2，2a≥3a＋1，21

解得1≤a≤3或a＝－1.

综上，a的取值范围是{a|1≤a≤3或a＝－1}. 12.已知p：2x2－3x－2≥0，q：x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，且命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 1解

令M＝{x|2x2－3x－2≥0}＝{x|(2x＋1)(x－2)≥0}＝{x|x≤－或x≥2}，N＝{x|x2－2(a－21)x＋a(a－2)≥0}＝{x|(x－a)[x－(a－2)≥0]}＝{x|x≤a－2或x≥a}. 由已知p⇒q且q⇏p，得MN，

11a－2>－2，a－2≥－2，∴或

a<2a≤2，333解得≤a<2或

充分性：∵A＝2B，∴A－B＝B，则sin(A－B)＝sin B，则sin Acos B－cos Asin B＝sin a2＋c2－b2b2＋c2－a2B，结合正弦、余弦定理得a·－b·＝b，化简整理得a2＝b(b＋c)；

2ac2bc必要性：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，且a2＝b(b＋c)，得b2＋bc＝b2＋c2－2bccos A，

csin C∴1＋2cos A＝＝，

bsin B即sin B＋2sin Bcos A＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，

∴sin B＝sin Acos B－cos Asin B＝sin(A－B)，

由于A、B均为三角形的内角，故必有B＝A－B，即A＝2B. 综上，知a2＝b(b＋c)的充要条件是A＝2B.