3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学内容

3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

●三维目标

1.知识与技能

(1)熟练掌握基本初等函数的导数公式；

(2)掌握导数的四则运算法则．

2．过程与方法

能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．

3．情感、态度与价值观

通过学习本节课，培养学生对问题的认知能力．由于利用定义求函数的导数非常复杂，本节课直接给出了几个基本初等函数的导数公式表和导数的运算法则．学生不用推导而直接去求一些简单函数的导数，认识事物之间的普遍联系，达到学有所用，在训练中也有加深了学生对学习数学的兴趣，激发学生将所学知识应用于实际的求知欲，培养浓厚的学习兴趣．

●重点、难点

重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则．

难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用．

教学过程

一、温故知新

【问题1】

1．用导数的定义求导数的步骤是怎样的？

【提示】

①求函数值的变化量；②求平均变化率；③取极限，得导数．

2．我们发现，用导数的定义求导数很复杂，能不能总结出常用函数的求导公式呢？

【提示】

能．

二、讲解新课：

1、基本初等函数的导数公式

1.若f(x)c,则f'(x)0;

2.若f(x)x（Q）,则f'(x)x1;

3.若f(x)sinx,则f'(x)cosx;

f(x)cosx,则f'(x)sinx;4.若

f(x)ax,则f'(x)axlna(a0);5.若

f(x)ex,则f'(x)ex;6.若

7.若f(x)logax,则f'(x)18.若f(x)lnx,则f'(x);

x

- 1 -

1(a0,且a1);xlna

练习1、求下列函数的导数。

(1)

y= 5

（2）y=x4

(3)

y=x2

(4)y=2x

(5) y=log3x

思考:如何求下列函数的导数：

(1)y1x4

(2)yxx

典型例题

例1 假设某国家在20年期间的年均通贷膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系p(t)p0(15%)t，其中p0为t0时的物价.假定某种商品的p01，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)? 解：根据基本初等函数导数公式表，有p'(t)1.05tln1.05

所以p'(10)1.0510ln1.050.08（元/年）

因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．

【问题2】

一个函数可以求其导数，那么两个函数加、减、乘、除能求导吗？

【提示】

能．

2、导数运算法则

（1.）f(x)g(x)f(x)g(x);（）2.[f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x);f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)（）3..2g(x)g(x)

如果(2)式中g(x)c,则公式变为：

[cf(x)]cf(x)例2

根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求函数yx32x3的导数. 解: y(x32x3)(x3)(2x)(3) 3x2.2

练习2、求下列函数的导数。

- 2 -

(1)yx3sinx

cosx

(1) y2sin(2)xxcos 2x2

1

22

(3)y(x1)(x2)

例3 日常生活中的饮用水通常是经过净化的. 随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加. 已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为c(x)5284(80x100). 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：

100x（1）90%； （2）98%. 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．

5284'5284'(100x)5284(100x)'c(x)()

2100x(100x)'0(100x)5284(1)5284

22(100x)(100x)528452.84，所以，纯净度为90%时，费用的瞬2(10090)（1）

因为c'(90)时变化率是52.84元/吨．

（2）

因为c'(98)52841321，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时2(10090)变化率是1321元/吨．

函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，c'(98)25c'(90)．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．

练习3、求下列函数的导数。

12122;(1)y(1)yx2x;xx

xx;(2)y(2)y;221x1x

我们再回顾一下

“导数的几何意义” 中的两个练习题。

(3)yytan(3)tanx;x;

22(4)(2x2x3)1(4)yy(23)1x;x2;9练习1、求曲线 在点M(3,3)处的切线的斜率及倾斜角．

yx

121yx（1，）处的切线的方程. 练习2、求曲线 在 22

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三、课堂小结

：

1、基本初等函数的导数公式

2、导数运算法则

四、作业: 习题3.2A组4,6 同步作业第57-58页

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