1.1.2 四种命题教学创新设计

1.1.2 四种命题 湘西州民族中学

1.1.2 四种命题

湘西州民族中学

杨安胜

一、【三维目标】

1.知识与技能

初步理解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式并能判断命题的真假．

2．过程与方法

培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．

3．情感、态度与价值观

激发学生学习数学的兴趣和积极性，优化学生的思维品质，培养学生勤于思考、勇于探索的创新意识，感受探索的乐趣．

二、【重点难点】

重点：了解四种命题的的概念．

难点：互为逆否关系的应用及命题真假的判断．

三、【教学过程】

导思1 观察下面四个命题：

(1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．

(2)若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．

(3)若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．

(4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．

命题(1)与其他三个命题条件与结论之间有什么关系？

【提示】

命题(1)(2)的条件与结论互换；

命题(1)(3)，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题条件的否定和结论的否定．

命题(1)(4)，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题结论的否定和条件的否定．

1．逆命题：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命

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题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题．也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆命题为“若q，则p”．

2．否命题：如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题．也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的否命题为“若非p，则非q”．

3．逆否命题：如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题．也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆否命题为“若非q，则非p”. 导思2 1．你能判断导思1中四个命题的真假吗？

【提示】

(1)真命题，(2)假命题，(3)假命题，(4)真命题．

2．互为逆否命题的真假性有无联系？

【提示】

有(可以再举一些实例验证)．

1．两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

2．两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系. 四、【典例精讲】

例1.

写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．

(1)如果直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；

(2)如果x＞10，那么x＞0；

(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0. 表示由定义【思路探究】原命题――→“若p则q”―→分清p、q――→逆命题、否命写出题、逆否命题

【自主解答】

(1)逆命题：如果直线垂直于平面，那么直线垂直于平面内的两条相交直线；

否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么直线不垂直于平面；

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逆否命题：如果直线不垂直于平面，那么直线不垂直于平面内的两条相交直线．

(2)逆命题：如果x＞0，那么x＞10；

否命题：如果x≤10，那么x≤0；

逆否命题：如果x≤0，那么x≤10. (3)逆命题：如果x2＋x－6＝0，那么x＝2；

否命题：如果x≠2，那么x2＋x－6≠0；

逆否命题：如果x2＋x－6≠0，那么x≠2.

【小结】：1．写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论，若原命题不是“若p，则q”的形式，应改写成“若p，则q”的形式，并写出条件和结论的否定：

①“换位”得到“若q，则p”为逆命题；

②“换质”(分别否定)得到“若綈p，则綈q”为否命题；

③“换位”又“换质”得到“若綈q，则綈p”为逆否命题．

2．命题的四种形式中，哪个是原命题是相对的，不是绝对的．

例2.下列命题中正确的是(

) ①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；

②“正三角形都相似”的逆命题；

③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．

A．①②③

C．②③

B．①③

D．①

【思路探究】

(1)你能直接改写命题并判断真假吗？

(2)四种命题的真假关系有何特点？能否利用这一关系判断？

【自主解答】

①原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”．真命题．

②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”．假命题．

③原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”．

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∵方程x2＋x－m＝0无实根，

1∴判别式Δ＝1＋4m<0，m<－4，

故m≤0，为真命题．

所以正确的命题是①③. 【答案】

B

五、【跟踪训练】

1、写出命题“若a＋b＋1＜0，则方程x＋ax＋b＝0的两个实根满足x1＜12＜x2”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．

【解】

逆命题：若方程x2＋ax＋b＝0的两根满足x1＜1＜x2，则a＋b＋1＜0. 否命题：若a＋b＋1≥0，则方程x2＋ax＋b＝0的两个实根不满足x1＜1＜x2. 逆否命题：若方程x2＋ax＋b＝0的两个实根不满足x1＜1＜x2，则a＋b＋1≥0. 下面对真假进行判断：

令f(x)＝x2＋ax＋b. 因为f(1)＝a＋b＋1＜0，f(x)为开口向上的抛物线，

所以f(x)＝0，

即x2＋ax＋b＝0的两个实根满足x1＜1＜x2，

即原命题为真命题，反之也正确．

所以逆命题为真命题．

由四种命题的关系可知，否命题也是真命题，逆否命题也是真命题.

2、(2014·嘉峪关高二检测)给出下列三个命题：

①“全等三角形的面积相等”的否命题；

②“若lg x2＝0，则x＝－1”的逆命题；

③“若x≠y或x≠－y，则|x|≠|y|”的逆否命题．

其中真命题的个数是(

) A．0

B．1

C．2

D．3 【解析】

①的否命题是“不全等的三角形面积不相等”，它是假命题；②

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的逆命题是“若x＝－1，则lg x2＝0”，它是真命题；③的逆否命题是“若|x|＝|y|，则x＝y且x＝－y”，它是假命题．

【答案】

B

六、【提炼精华

我有所得】

七、【课后作业】

1、必做题：

2、选做题：

八、【教学反思】

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