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§1.1.1 变化率问题学习目标：1.理解平均变化率的概念; 2.了解平均变化率的几何意义; 3.会求函数在某点处附近的平均变化率. 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率.教学难点：平均变化率的概念.教学过程：一、学习背景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了

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所属课文：3.1.1 变化率问题

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§1.1.1 变化率问题

学习目标：

1.理解平均变化率的概念; 2.了解平均变化率的几何意义; 3.会求函数在某点处附近的平均变化率. 教学重点：

平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率.

教学难点：

平均变化率的概念.

教学过程：

一、学习背景

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关: 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等. 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具. 导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.

二、新课学习

(一)问题提出

问题1 气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 分析： (1)当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为 (2)当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为可以看出：思考: 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 问题2 高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)4.9t6.5t10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态? 思考计算: 0t0.5和1t2的平均速度v

探究: 计算运动员在0t时间内使静止的吗？

(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

(二)平均变化率概念

1.上述问题中的变化率可用式子化率. 2.若设xx2x1, ff(x2)f(x1)(这里x看作是对于x1的一个“增量”可用265这段时间里的平均速度,并思考以下问题:(1)运动员在这段49f(x2)f(x1)表示,称为函数f(x)从x1到x2的平均变x2x1x1x代替x2,同样fyf(x2)f(x1)) f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yf则平均变化率为

xxx2x1x思考: 观察函数f(x)的图象

平均变化率

ff(x2)f(x1)表示什么? xx2x1

三、典例分析

例1 已知函数f(x)xx的图象上的一点A(1,2)及

临近一点B(1x,2y)则【解析】:

例2

求yx2在xx0附近的平均变化率. 【解析】:

四、课堂练习

1.质点运动规律为st3,则在时间(3,3t)中相应的平均速度为 . 2.物体按照s(t)3tt4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率. 3.过曲线yf(x)x上两点P(1,1)和Q(1x,1y)作曲线的割线, 求出当x0.1时割线的斜率.

32y . x22

关于本教案的常见问题

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