3.2.3 空间的角的计算优秀说课稿

江苏省睢宁高级中学北校高二数学教学案

3.2.3空间的角的计算

【学习目标】能用向量方法解决线线、线面、面面角的计算问题

【学习重点】异线角、线面角、二面角的计算

一、课前预习

1.两条异面直线所成的角的范围是

，若两条异面直线所成的角为θ，

它们的方向向量的夹角为，则θ与的关系是 . 2.直线与平面所成的角的范围是 ，若直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则θ与的关系是 . 3.二面角的平面角的范围是

，二面角的平面角的大小为θ，两个半平面的法向量所成的角为，则θ与的关系是 . 4.在棱长为1的正方体ABCD–A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、BB1的中点，求直线AM 与CN所成的角的余弦值.

D1

A1

M N D B1

C C1

B A 5.正方体ABCD–A1B1C1D1中，求直线BC1与平面A1BD所成的角的余弦值_________.

6.在正方体ABCD–A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，求平面A1ED与平面ABCD所成的

锐二面角的余弦值_________

二、例题选讲

例1.在正方体ABCDA1B1C1D1中,E1，F1分别在A1B1,,C1D1上，且E1B1=D1F1=

1A1B1，

4C1

B1

C B 1D1C1，求BE1与DF1所成的角的余弦值.

4D1

A1

D A F1

E1

法一：几何法

作平行线构造两条异面直线所成的角

法二：向量法

法三：坐标法

例2 .在正方体ABCDA1B1C1D1中, F分别是BC的中点，点E在D1C1上,且D1E1试求直线E1F与平面D1AC所成角的大小

例3.在正方体ABCDA1B1C1D1中,求二面角A1BDC1的大小. 法一（直接法）

1D1C1,4D1

A1

D A E B1

C1

B F C D1

A1

D A B1

C1

C B

法二：(法向量)

例4.已知E,F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC和CD的中点，求：

⑴A1D与EF所成角的大小

⑵A1F与平面B1EB所成角的大小

⑶二面角CD1B1B的大小

变式训练．（2013江苏高考22题）

如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，点D是BC的中点。

（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；

（2）求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值。

D1

A1

D A F B E B1

C1

C

三、巩固练习

1.在正三棱柱ABC–A1B1C1中，若AB=2BB1，则AB1与BC1所成角的大小为

.

A1

B1

C1

A C B 2.在正四面体ABCD中，点E为BC的中点，F为AD的中点，则直线AE与CF所成的角的

余弦值是 .

3.设a、b分别是两条异面直线l1、l2的方向向量，且cos=-

l1、l2所成的角是 .

4.已知正方体ABCD–A1B1C1D1中，M是AB的中点，则对角线DB1与CM所成的角的余弦值是

.

5.已知平面的一条斜线和它在平面内的射影的夹角为45°，平面内一条直线和这条斜线在平面内的射影的夹角为45°，求斜线和平面内这条直线所成的角

1，则异面直线

2