3.1.3 导数的几何意义优秀公开课教案

导数的几何意义教案1

教学目的

1．使学生理解导数的几何意义；并会用求导数的方法求切线的斜率和切线方程；利用导数求法线方程．

2．通过揭示割线与切线之间的内在联系对学生进行辩证唯物主义的教育．

教学重点

理解导数的几何意义是本节的重点．

教学过程

一、复习提问

1．导数的定义是什么？求导数的三个步骤是什么？求函数y＝x2在x＝2处的导数．

2．怎样定义曲线C在点P的切线？(即切线的定义)

在学生回答基础上教师重点讲评第2题，然后逐步引入导数的几何意义．

如图2－1，设曲线C是函数y=f(x)的图象，点P(x0，y0)是曲线C上一点．点Q(x0＋Δx，y0＋Δy)是曲线C上与点P邻近的任一点，作割线PQ，当点Q沿着曲线C无限地趋近于点P，割线PQ便无限地趋近于某一极限位置PT，我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线C在点P处的切线．

追问：怎样确定曲线C在点P的切线呢？因为P是给定的，根据平面解析几何中直线的点斜式方程的知识，只要求出切线的斜率就够了．设割线PQ的倾斜角为

由上式可知：曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率就是y＝f(x)在点x0处的导数f'(x0)．

二、新课

1．导数的几何意义：

函数y＝f(x)在点x0处的导数f'(x0)的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率．

口答练习：

(2)已知函数y＝f(x)的图象(如图2－2)，分别为以下三种情况的直线，通过观察确定函数在各点的导数．

2．利用导数求曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程．

例1求曲线y＝x2在点M(2，4)处的切线方程．

∴y'|x=2=2×2=4．

∴点M(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4=0．

由上例可归纳出求切线方程的两个步骤：

(1)先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f'(x0)．

(2)根据直线方程的点斜式，得切线方程为

y－y0=f'(x0)(x－x0)．

3．利用导数求曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的法线方程．

(先由学生来回答，教师再讲评总结．)

我们由已学平面解析几何可知：(1)经过点P和切线PT垂直的直线叫做曲线C在点P处的法线．(2)如果两条有斜率的直线互相垂直，那么，它们的斜率互为负倒数．

利用导数求法线方程可归纳为两步：

(1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数．即求出切线在(x0，f(x0))处的斜率．(2)求出曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的法线方程．应分三种情况：

f'(x0)≠0时，由直线方程的点斜式得法线方程

f'(x0)＝0时，过点(x0，f(x0))的切线平行于x轴，所以过点(x0，f(x0))的法线垂直于x轴，即平行于y轴，得法线方程为x＝x0．

当过点(x0，f(x0))的切线(存在)平行于y轴(x＝x0时的导数不存在)，所以过点(x0，f(x0))的法线垂直于y轴，即平行于x轴，得法线方程为y＝f(x0)

的切线的方程；(3)过P点的法线方程．

y'|x=2=22=4．

∴

在点P处的切线的斜率等于4．

即

12x－3y－16＝0．

即

3x＋12y－88＝0．

练习：求抛物线y＝x2＋2在点M(2，6)处的切线方程和法线方程．

(答案：y'＝2x，y'|x=2＝4切线方程为4x－y－2=0：法线方程为x＋4y－22＝0)．

三、小结

1．导数的几何意义．

2．利用导数求曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程和法线方程的步骤．

四、布置作业

1．求抛物线y=4x－x2在点A(4，0)和点B(2，4)处的切线的斜率，切线的方程．

3．求曲线y＝2x－x3在点(－1，－1)处的切线的倾斜角．

*5．已知抛物线y=x2－4及直线y＝x＋2，求：

直线与抛物线交点的坐标；

(2)抛物线在交点处的切线方程；

(3)直线与抛物线在交点处的切线的交角．