3.1.3 导数的几何意义优质课教案

3.1.3导数的几何意义

遂溪县第三中学

莫小娜

【回顾旧知】

Vyf(x2)f(x1)；

Vxx2x1Vyf(x2)f(x1)

2、平均变化率的几何意义：表示割线PP12的斜率. Vxx2x1f(x0Vx)f(x0)Vylim

3、函数yf(x)在xx0处的导数：f'(x0)=lim.

Vx0VxVx0Vx

1、函数yf(x)从x1到x2平均变化率：【学习目标】

1、了解导函数的概念以及平均变化率与割线斜率之间的关系; 2、理解曲线的切线的概念; 3、通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题. 【重点难点】曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义.

一、知识要点

预习课本第76—79页，完成下列填空：

【知识要点1】切线的定义

P时，割线PPn趋近于确定的位置，

设PPn是曲线yf(x)的割线，当Pn趋近于点这个确定位置的直线PT称为曲线yf(x)在点P处的切线. 2、【知识要点2】导数的几何意义：

函数yf(x)在点(x0,在点f(x0))处的导数f'(x0)的几何意义是表示曲线yf(x)处的切线的斜率；即(x0,f(x0))kf'(x0)lim则曲线在点(x0,f(x0Vx)f(x0)Vylim，

Vx0VxVx0Vxf(x0))处的切线方程是yf(x0)f'(x0)(xx0). 3、导数的物理意义：若物体的运动方程是ss(t)，在点p(t0,s(t0))处的导数意义是tt0的

. 4、函数yf(x)的导函数：由函数yf(x)在xx0处求导数的过程可以看到,当xx0时,f(x0)是一个确定的数,那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作:f(x)或y,即f(x)y

.

二、

探究新知

一、探究问题：思考课本第76—77页的观察的图3.1-2. 探究1:如图3.1-2，当点Pn(xn,f(xn))(n1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近点P(x0)f(x0))时，

割线PPn的趋近于那条直线？

探究2：当点P无限趋近于点P时，割线PPnn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？

结论1：当点P趋近于点P时，割线PPnn趋近于在点P处的切线PT. 探究3：函数yf(x)在P(x0,f(x0))处的导数与在点P处的切线PT的斜率有什么关系呢？

二、思考问题：如何确定曲线在某点处的切线方程？

三、有关概念的理解：导学案第51页，判断对错. 三、

例题讲解

题型一：导数的几何意义与求切线方程：

【例1】1、函数yf(x)在xx0处的导数f'(x0)的几何意义是（

）

A、在点xx0处的函数值

B、在点(x0,f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值

C、曲线yf(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率

D、点(x0,f(x0))与点（0，0）连线的斜率

2、已知函数yf(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y________.3xy20

【例1】3、曲线yf(x)x21在点P(1,2)处的导数为

，在点P(1,2)处是切线的斜率

为

，在点P(1,2)处的切线方程是

. 1x1，则f'(1)

2f(1x)f(1)[(1x)21](121)lim解：Qf(1)lim

x0x0xx2x(x)2lim(2x)2；

在点P(1,2)处是切线的斜率为 limx0x0x

k2；

则由直线的点斜式得切线的方程为：y22x，即为2xy0

(1)4、曲线yf(x)x3在点(1,1处的切线方程为

. )【方法小结】求给定曲线yf(x)上某点P(x0,f(x0))处的切线方程的基本步骤: ①求导数f(x0)limx0f(x0x)f(x0)；②得到切线的斜率kf'(x0)；

x'③写出切线方程yy注意：切点既在曲线上也在切线上. f(0x)(x0x)0题型二：求切点坐标：

【例2】1、在曲线f(x)x2上切线斜率为1的切点是（

）

A、(0,0)

B、(2,4)

C、(,解析：设切点的坐标为(x0,y0)，

1111)

D、(,)

41624f(x0x)f(x0)(x0x)2x02lim则f(x0)lim

x0x0xx2x0Vx(x)2lim(2x0Vx)2x0；

limx0x0xQ斜率为1；2x01,x0选D

112111；则y0()，即切点为(,)，故2242422、若曲线yx2上一点P处的切线恰好平行于直线y2x1，则P点坐标为_______.(1,3)

23、若曲线yx2上一点P处的切线恰好垂直于直线y1x1，则P点坐标为2_______. 4、已知曲线y2xa在点P处的切线方程为8xy150，求切点P点坐标和实数a值. 解：设切点的坐标为(x0,y0)，

QVy[2(x0x)2a](2x02a)4x0x2(x)2；

2

y4x0x2(x)24x0x；kf'(x0)lim(4x0x)4x0；

x0xx Q切线方程为8xy150，即y8x15；k8，即4x08，x02；

Q切点P在切线y8x15上，y082151，则切点P点坐标(2,1)；

222a1，解得a7，即实数a值为7.

Q切点P点也在曲线y2x2a上，【变式】（2010全国）若曲线yx2axb在点(0,b))处的切线方程是xy10，则(

) A、a1,b1

B、a1,b1

C、a1,b1

D、a1,b1

【方法小结】根据切线斜率求切点坐标的步骤：

①设切点坐标(x0,y0)；②求导函数f'(x)；③求切线的斜率f'(x0)；

④由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；

⑤由点(x0,y0)在曲线f(x)（且在切线上）上，将(x0,y0)代入曲线方程或切线方程求y0得切点坐标．

四、

巩固训练

1、曲线yx2在x0处的（

）

A、切线斜率为1

B、切线方程为y2x

C、没有切线

D、切线方程为y0

2、已知曲线y2x上的一点A(2,8)，则点2A处的切线斜率为（

）

A、4

B、16

C、8

D、2 3、设f(x)为可导函数，且满足条件limx0f(1)f(1x)1，则曲线yf(x)在点（1，2x1）

处的切线的斜率为（

）

A、2

B、－1

C、21

D、－2 2 4、若曲线yx上一点P处的切线恰好

（1）平行于直线y4x5，则P点坐标为_______.(2,4)

（2）垂直于直线2x6y50，则P点坐标为_______.；(39,)

24（3）与x轴成135的倾斜角，则P点坐标为_______.(11,)

245、（09江苏）在平面直角坐标系xoy中，点p在曲线C:yx310x3上，且在第二象限内，

已知曲线C在点p处的切线的斜率为2，____________.(6,463)

五、课堂小结与反思

六、课后作业与练习

完成导学案练习册相应的习题

则点p的坐标为