1.2 充分条件与必要条件（通用）优秀教学设计范文

如何建立高中数学有效课堂

——（选修2-1）1.2充分条件与必要条件教学设计

一、设计理念

我校正在举办《如何建立有效课堂》征文比赛，通过高中数学的课堂教学及反思，我认为有效课堂是将传统课堂和创新课堂的有效结合，无论是新知课、练习课、复习课、等不同的课堂类型应该是有针对性的打破传统授课形式（一灌到底），将课堂改变成“情景-设疑-探究-变式-讨论-互助-总结”的开放性形式. 本节课过创设丰富的问题情境，引导学生主动探究，强调学生的主体性，使学生实现知识的建构，培养学生用数学的意识．在教学中尽量多地让学生体验到“数学源于生活，又高于于生活，在探究中创新”．感知数学的自然、简约与美好．

二、内容和内容解析

教科书结合实例给出推断符号“”和等价符号“”，并引出充分条件、必要条件与充要条件的概念．它们是研究命题的条件与结论之间的逻辑关系的重要工具，是中学数学中最重要的数学概念之一．在“充分条件与必要条件”这节内容前，教材安排了“命题及其关系”作为必要的知识铺垫，并把充分、必要条件的定义安排在第一课时，第二课时学习充要条件．学习本节，要注意与前面有关逻辑初步知识内容的联系，本节所讲的充分条件、必要条件与充要条件中的p、q与四种命题中的p、q内容是一致的，即它们可以是简单命题，可以是不能判断真假的语句，也可以是“若p则q”形式的复合命题，但本节中，一般只要求p、q是简单命题，而不作更深的讨论．

新的国家标准规定：

符号“”叫做推断符号．“pq”表示“若p则q”，也表示“p蕴含q”，有时也用“pq”，“pq”还可写成“qp”．

符号“”叫做等价符号．“pq”表示“pq”且“qp”；也表示“p等价q”．“pq”有时也写成“pq”．

1. 充分但不必要条件、必要但不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件和结论之间的因果关系．

2. 在判断条件和结论之间的因果关系中应该：

(1)首先分清条件是什么，结论是什么；

(2)然后尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件．推理方法可以是直接法、间接法（即反证法），也可以举反例说明其不成立；

(3)最后再指出条件是结论的什么条件．

- 1 -

3. 在讨论条件和条件的关系时，要注意：

(1)若pq，但qp，则p是q的充分但不必要条件；

(2)若qp，但pq，则p是q的必要但不充分条件；

(3)若pq，且qp，则p是q的充要条件；

(4)若pq，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件．

4. 集合A为满足的条件p的元素组成的集合，集合B为满足的结论q的元素组成的集合，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断．

(1)若AB，则A是B的充分但不必要条件；

(2)若BA，则B是A的必要但不充分条件；

(3)若AB，则A是B的充要条件；

(4)若A/B，且B/A，则A是B的既不充分也不必要条件．

三、教学诊断分析

一个很难的课题，第一层面：概念本身.

p、q抽象，逻辑关系很严谨，定位不清；第二层面：概念的综合. 三个概念的综合判断, 如充分但不必要条件、必要但不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件等，都涉及举反例，困难较大. 都与数学各知识或推理相结合的判断.

虽然经过初中及高一的学习，学生已经具备一定的逻辑推理能力，但学生在学习本节内容时的知识储备仍不够丰富．这些概念较抽象，与学生原有的思维习惯有所差异，理解和掌握这些内容有一定难度．结合以往的教学实践，估计学生会在以下几个方面的学习中存在困难：

1. 若pq，为什么把q叫p的必要条件；

2. 在判断p是q的什么条件时，学生知道要判断p是否是q的充分条件，但会“忘记”还要判断p是否是q的必要条件．

为了突破难点，理顺知识间的逻辑关系，让学生能在比较、识别中把握三个概念的内涵，教学中对这部分内容进行整合处理，第一课时完成三个定义的学习以及初步运用，第二课时进行拓展应用训练．基于本节内容特点，教学中通过师生对实例的考察研究，采用讲授—启发式教学法，直观化教学，生活、几何、半抽象直观．通过师生互动来实现本节课的教学目标．对学生的要求，不可追求一步到位，要有一个随着学习的深入，逐步提高、完善的过程．

- 2 -

四、教学目标和目标解析

1．了解推断符号“”与等价符号“pq”的意义，理解充分、必要、充要条件的概念，初步掌握充分、必要、充要条件的判断方法及简单应用. 2．通过本课内容的教学，渗透等价转化、正难则反易等重要数学思想，有助于加强学生的因果观念与化归意识，有利于提高学生的逻辑推理与分析探究能力. 3．通过推断符号和等价符号的应用，让学生亲身体验数学的简约美，感受充分、必要条件的和谐统一美，有利于激发学生“学好数学”的情趣，有利于增强学生对数学学习的信心. 五、教学重点与难点

1. 教学重点：关于充分条件、必要条件及充要条件的概念的理解和判断．

2. 教学难点：关于必要条件概念的理解以及充分、必要条件的综合应用．

六、教学支持条件分析 由于这是充分条件与必要条件的概念课，文字信息量较普通的数学课要大得多，因此利用课件，以简化教师板书工作，增加课堂教学的信息容量，保证学生的活动空间和思维空间，努力提高单位教学效益．

七、教学过程 1.复习回顾

（1）命题的概念；（2）四种命题及相互关系；（3）四种命题的真假关系.

设计意图：从具体问题出发来引出数学概念更符合学生的认知规律．（1）（2）在这里起到承上启下的作用，既复习了前面所学知识，又找准了学生知识结构上的生长点，为后面充分条件和必要条件的学习做准备．

2.情景导入

事例1（一则关于小明的故事）

老师：小明：“你怎么又迟到了？”

小明：对不起，都怪路上的景色太迷人了. 老师：你太可爱了，只是迟到理由不充分，下课劳驾你到办公室来下！

提问：他理由不充分吗？

事例2（***的一句话）．

******在考察浙江G20峰会筹备工作时指出，“营造积极的国际舆论环境，是成功举办G20峰会的必要条件.”

提问：你能理解***这句话的含义吗？

- 3 -

设计意图：首先，利用学生身的事例，将学生带入轻松，愉快的思维环境；其次联系时事热点，用***一句话点燃学生学习热情，激发求知的欲望.

3.形成概念

练习：判断它们的真假

①“若ab0，则a0”；②“若xa2b2，则x2ab”．

一般地，“若p，则q”是真命题，是指由p通过推理可以得出q．这时，我们就说，由p可推出q，记作“pq”．

设计意图：理解“”符号的含义，为引出定义奠定知识基础. 通过研究原命题，对建立在学生原有认知水平上“充分”这个感性化的词汇获得数学意义上的认识，引出充分条件的定义；通过研究逆否命题，又让学生理解了q是p成立的“必需要有”的条件，引出必要条件的定义．

设计意图：通过以上的实例使学生亲身感知概念的发生与形成过程，使充分、必要条件定义的引入顺理成章，水到渠成，帮助学生突破难点．通过以上分析，师生共同给出充分、必要条件的定义.

定义：“pq”，也就是条件p“足以”保证或“充分”保证结论q成立，这时我们说p是q的充分条件；从命题的角度看，“pq”，根据逆否命题与原命题的等价性，既也就是如果没有q成立，就一定没有p成立，q成立是p成立“必须要有”的前提条件，我们说q是p的必要条件. 4. 运用新知 例1：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的

p

是q

的充分条件？（1）若x1 ，则x24x30;（2）若f(x)x

，则

f(x)在R上为增函数;（3）若x为无理数 , 则x2为无理数.

例2：下列“若p

，则q”形式的命题中，哪些命题中的

q是p

的必要条件？(1) 若一个几何体是球，则该几何体主视图是圆; （2）若ab, 则acbc

；（3）若an2n1 （nN*），则an是等差数列

.有学生自主练习,

后老师点评.

设计意图：在理解定义的基础上解决简单问题，同时归纳判断充要条件的方法与步骤，并强化判断时先要确定谁是条件p,促进学生养成正确的思维习惯，帮助学生突破难点，让学生充分暴露思维障碍，帮助教师了解学生获取知识的现状，以便调整教学节奏.

- 4 -

5. 理解概念

提问：我们该如何理解充分条件，必要条件

的真正含义? 例如：如果你是华蓥人，那么你就是广安人. 简记：华蓥人



广安人.

pq:

P成立，足够说明q成立，即：p是q的充分条件. q:广安人

p:华蓥人

q:平行四边形



类比

p:矩形

qp:q不成立，那么p不成立, q是p不可缺少的条件, 则说， q是p的必要条件.

设计意图：师生互动形式，运用图形与生活直观和抽象相结合教学，去突破又一难点. 6. 拓展延伸

利用四种命题，深化概念. 根原命题和逆命题的真假，细化概念，引出四种结论.

给出定义：一般地，如果既有pq，又有qp，就记作pq．此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果p是q充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果pq，那么p与q互为充要条件．

判别步骤：

①认清条件和结论；②考察是否有pq和qp，即原命题和逆命题的真假；③下结论．

由学生小组讨论归纳总结：

原命题

pq (真) pq (假) pq (真) pq (假) 逆命题

qp (假) qp (真) qp (真) p是q的

充分不必要条件

必要不充分条件

充要条件

既不充分也不必要条件

qp (假) 课堂演练：

用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”填空.(1)“xy3”是“x1且y2”的(2)“=”是“sin=sin”的(3)“b=0”是“函数f(x)ax2+bx+c

为偶函数”的11(4)“ab”是“”的ab

设计意图：师生互动形式，小组讨论，充分发挥学生自主性，合作探索；及时巩固，学

以致用.

7.回归应用，丰富感知

师生活动：1. 在下列电路图中,开关A闭合是灯泡B亮的什么条件？

- 5 -

⑴如图①所示,开关A闭合是灯泡B亮的__________条件; ⑵如图②所示,开关A闭合是灯泡B亮的__________条件; ⑶如图③所示,开关A闭合是灯泡B亮的__________条件; ⑷如图④所示,开关A闭合是灯泡B亮的__________条件. 2. 教师引导学生：充要关系不仅仅在数学中是非常重要的概念，在我们的日常生活中同样也是经常遇到. 比如在我们生活中的一些名言名句中，就有不少例子. 请试试探讨下列生活中名言名句的充要关系(小组讨论，学生回答.).

（1）骄兵必败；（2）玉不琢，不成器

；

（3）不到长城，非好汉；（4）名师出高徒；

（4）近朱者赤，近墨者黑；（ 3）有志者事竟成. 设计意图：一个原型实现；让学生体验到“数学源于生活，又高于于生活，在探究中创新”．感知数学的自然、简约与美好. 考虑到充要条件既是一个数学概念也是一个逻辑概念，它与人们日常生活中的推理判断密切相关，再让学生看下面的例题，让学生淘汰其中的充要条件，并踊跃发表自己的观点. 当然，生活语言不可能象数学命题一样准确，因此学生不同观点的碰撞在所难免，作为教师，只要学生的推断能在某种前提或某个角度下合乎情理，就应该肯定，在这里答案应该是开放的，不同的观点应允许共存，关键是只要学生能“学会用数学的思维观察生活就行了”. 八、回头观望，总结提炼

由学生自行，总结老师补充. (1)知识收获；

(2)数学思想与方法的收获.

九、目标检测设计

”填空：

1. 用符号“”和“(1)x2y2__________xy；

(2)内错角相等__________两直线平行；

(3)整数a能被6整除______a的个位数学为偶数；

(4)ac=bc______a=b．

2. 下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？哪些命题中的p是q的必要条件？

(1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；(2)若x5，则x10．

(3)若a+5是无理数，则a是无理数．(4)若(xa)(xb)0，则xa.

- 6 -

3. 下列各题中，p是q的什么条件？

p x23x4

q x3x4

ax2bxc0(a0)

abc0

p是q的什么条件

b24ac0(a0)

x1是方程ax2bxc0的一个根

x1

x2

|x2|3

x1x1

x3x3

1x5

设计意图：前三题以落实教材习题为主，在理解定义的基础上解决简单问题，强化基础，巩固目标，促进学生养成正确的思维习惯，帮助学生突破难点．

4. 写出ab>0的一个充分不必要条件．

5. 已知p是q的充要条件，r是

s的必要条件同时又是q的充分条件，试确定p与r的关系．

设计意图：一为提高学生解决问题的能力，二是让学生充分暴露思维障碍，帮助教师了解学生获取知识的现状，以便调整教学节奏．

6. 探讨下列生活中名言名句的充要关系.

(1)水滴石穿；(2)春回大地，万物复苏；(3)海内存知己

；(4)蜡炬成灰泪始干；(5)头发长，见识短. 十、教学反思与评价

本节课我采用的是探究式教学，通过“分析—探究—总结”的学习过程，在学生学习新知识的同时，也注意培养学生的能力. 不同于通常的数学习题和数学问题，具有浓郁的文化气息，希望能成为是点缀的花边而且是点睛的妙笔，将课堂的学习延伸至课外，让学生在生活中自觉地体验“数学思维”生活中的例子引入，从开始上课就能激发学生求知的欲望，接下来都是通过和同学们共同探讨例子来总结结论，一步步的完善判断命题中条件与结论的步骤及方法，给学生留下深刻印象.总的来说这节课我觉得是成功的，但也存在着一定的不足，不是每个同学都能积极的参与在讨论中，从而一部分同学对知识的了解还不是很透彻. 通过这节课的讨论，我发现大部分同学都喜欢这样的上课方式，特别是当把数学知识与实际生活结合时，同学们都很积极、很有兴趣，这让我看到了教学的亮点，所以在今后的教学中，我会多利用这样的教学方式，更要在备课中尽量挖掘学生感兴趣的例子，希望在以后的教学中会越来越有趣，学生会越来越喜欢这样的课堂，力争把全班同学都带动到课堂中.

- 7 -