5.3 同角三角比的关系和诱导公式教案（名师）

3.1《同角三角函数的基本关系》——第一课时（教学设计）

西安市第三中学

王钢

一、教材分析

1、

教材的地位和作用：

《同角三角函数的基本关系》是高中新教材北师大版必修4第三章第一节的内容，本节内容是学习了三角函数后，安排的一节继续深入学习的内容，是求三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具，是整个三角函数的基础，在教材中起承上启下的作用。同时，它体现的数学思想与方法在整个中学数学学习中起重要作用。

2、

教学目标

知识与技能：通过观察猜想出两个公式，运用数形结合的思想让学生掌握公式的推导过程，

理解同角三角函数的基本关系式，掌握基本关系式“已知一个角的一个三角函

数值能求这个角的其他三角函数值”的应用；

过程与方法：培养学生观察——猜想——证明的科学思维方式；通过公式的推导过程培养学生数形结合的思想；通过求值、证明来培养学生逻辑推理能力；通过例题与练习提高学生动手能力、分析问题解决问题的能力以及其知识迁移能力。

情感、态度、价值观：经历数学研究的过程，体会分类讨论的思想、转化的思想。

3、教学重点和难点

重点：同角三角函数基本关系式的推导及应用。

难点：1）对于“同角”的理解；

2）角α所在象限不定时对于三角函数值的讨论；

3）求值过程中的重要思想的应用。

二、教学设计：

教学

环节

教

学

过

程

西方有一首著名的民谣：

丢失一个钉子，坏了一只蹄铁；

学生活动

设

计

意

图

情

景

创

设

课

题

复

习

跟随老师的引导进入折了一匹战马，伤了一位骑士；

创设意境，引伤了一位骑士，输了一场战斗；

发下一个问输了一场战斗，亡了一个帝国。

两个似乎毫不相干的事物，却有着这样的联系。题的思考。

那么在我们所学习的三角函数中，又存在着什么样的

联系呢？

提出问题：

①

基本的三角函数是什么？

思考并回②

对于同一个角，这几个基本的三角函数之间答问题

又有什么联系？

一、复习回顾：

在初中我们已经知道，对于同一个锐角，存

在关系式：

坏了一只蹄铁，折了一匹战马；

1 创设情境激发学生的求知欲。

基

础

知

识

定

义

及

证

明

从特殊到sin一般，引导学tan

学生计算生完成特殊cos①思考：学生写出1500，2400,-300,角的三角函数值，三个角的基到一般的归观察他们之间的关系，猜想之间的联系。

本三角函数纳思想。

②提出问题：

值，同时猜想通过观问题1：从以上的过程中，你能发现什么一般规律？

其范围的推察思考，感知问题2：你能否用代数式表示这两个规律？

广后的结论。

同角三角函

数的基本关

二、讲授新课

系。

1、探究新知：

y

P(x,y)

x

M

O

问题1：任意角三角函数的定义？

充分发如图：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点思考证明挥学生的主P（x，y）则，sin

=y；cos=x 三角函数基问题2：当角的终边不在坐标轴上时正弦、余弦之本关系的方观能动性，法，并进行阐间的关系是什么？

提高学生运（教师引导学生证明）直角三角形MPO中：

述。

|MP|²+|OM|²=|OP|²，既x²+y²=1。

用数形结合

所以：

sin²+cos²=1 思想解决问

siny,cosx,

题的能力。

ysin

tan(k)

xcos2

问题3：当角的终边在坐标轴上时,关系式是否还成

立？

2、公式深化:

判断下列等式是否成立：

学生及时

sin学生判断，熟悉公式，同

1、3tan并回答问题。

3时深化“同

cos

3角”的概念。

22

2、sin()cos()1

3、sin2cos21

3、

归纳提升：

同角三角函数的基本关系：

2 sin²+cos²=1

知

识

提

升

公

式

应

用

例

题

探

究

sin殊到一般的让学生经tan

(2)商数关系:数学思想。

历由特殊到cos

一般的知识提醒：

生成的过程，①

注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言

并完成公式sin

中应该注意tan中cos0,且的，如需有意义

问题的强化。

cos注意易错点。

等.

②注意“同角”指相同的角。

③强调：sin²并不是sin²。

是（sin）²

4、公式的作用：

(1).已知某角的一个三角函数值，求出其余的三角函

思考两个明确公式公式都有哪的应用，理清数值；

些应用？

知识主线。

(2)化简三角函数式；

(3)证明三角恒等式；

本节主要应用进行（1）的应用。

4

借助学生例1、已知，sin=

，且是第二象限的角，求围绕教师对于刚学习5cos，tan的值.

提出的问题的知识所拥思考1：条件“α是第二象限的角”有什么作用？

进行思考并有的探求心思考2：如何建立cosα与sinα的联系？如何建立他阐述解决问理，让学生探们与tanα的联系？

题的方法。

究使用两个

公式来求三解：是第二象限的角

角函数值，同cos0且tan0

时思考“α是249

21sin21

第二象限的cos255

角”的含义。

cos0,cos93

255

sin4

tan

对比之前cos34提升思考例题1，强调变式：已知，cos= -，求cos，tan的值.

高度，体会分它们之间的5思考：本题与例1的主要区别在哪儿？如何解决这个类讨论的数区别，并且体问题？

学思想。

会解决问题

的方法：分类

讨论。

(1)平方关系:sincos1

22

体会由特

3

变

式

提

升

学

生

探

究

总结

反思

提高

认识

小组

探究

29422sin1cos1

灵活应用255公式，思考并

若是第二象限角则sin0

阐述解题过93则sin程，同时体会

255

解方程的思sin3tan-cos4

想及分类讨33

论的思想。

若是三象限角，那么：sin，tan。54

方法总结：

一：若已知sinα或cosα，先通过平方关系得出另

通过练外一个三角函数值，再用商数关系求得tanα。

由例1、例习，使学生体二：已知tanα，先通过商数关系确定sinα和cos2归纳已知一会解方程的α

个角的一个思想。

三：注意：对于不知道是第几象限角的情况，采用三角函数，求

“符号看象限”及分类讨论的思想来处理。

该角另两个

三角函数值

得方法。

例3、

已知角满足tan2,求

4sin2cos（1）；

3sin3cos

利用之前22

两道题，共同（2）sin2sincos-3cos；

总结两类问①

给出三

题的解决方分析：让学生探究第一小题的解法，注意、分钟时间，法，培养学生学生先独立归纳分析问、之间的关系的应用，学生的解题方法完成，并进题的能力。

可能有很多种，注意每种解法后对数学思想方法的归

行阐述；

纳.然后让学生尝试解决第二小题.第二小题较第一①通过学②

前后

小题难度有所增加，可以让学生采取合作学习的办四人小组进生的小组讨行合作讨论，论体会化归法，分小组讨论，探究其解题方法，并板演。

探究解决此

思想，化未知题方法的多样性。

为已知；

③体会“1”②探究一题的灵活应用。

多解，并寻找

四、归纳小结 最优解法；

（1）通过本节课的学习，你学会了哪两个公式？

4 解：因为cos0,且cos1，所以是第二或第三象限角。

归纳

小结

布置

作业

（2）学会了运用两个公式去处理什么类型的问题？

（3）在解决遇见的两类问题时，应分别注意哪些方

面的要点？ 学生总结自己的体会，并（4）你能总结本节课的知识体系么？

进行知识小结。

五、布置作业

1、课本P115页习题3-1，A组第1、2、3、4，B组

第6题。

2、导学案032知识拓展1.2

课后反思课堂内容并再次梳理，认真完成作业。

通过小结使本节课的知识系统化，使学生深刻理解数学思想方法在解题中的地位和应用，培养学生认真总结的学习习惯。

及时进行课后的知识评价，通过作业反馈，为下节课如何调整课堂内容提供依据。同时进一步加强学生对本节内容的掌握。

三、板书设计

在板书中突出本节重点，同时给学生留有作题的地方，整个板书充分体现了精讲多练的

教学方法。

3.1 同角三角函数的基本关系

1、

同角三角函数基本关系

探究一（1）：┈┈┈ 探究一（2）：┈┈┈

（公式1、公式2）

┈┈┈┈┈

探究二：┈┈┈ 探究三：┈┈┈

┈┈┈┈┈

5