5.4 两角和与差的余弦、正弦和正切教学设计一等奖

课题:5.4(1)两角和差的余弦公式

一、教学目标: 1、知识与技能：掌握两角和与差的余弦公式，能运用公式解决三角式的求值、化简和证明等问题。

2、过程与方法：经历两角和与差的余弦公式的推导过程，体会构造图形解决三角问题的“构造法”思想。

3、情感态度与价值感：感受两角和与差的余弦公式的正用、逆用和变形用，培养不怕困难、勇于探索的学习精神。

三、教学重点:两角和差的余弦公式及其推导过程

教学难点:灵活运用上述公式求解相关题型

四、教学流程与教学内容:

问题引入→公式推导→例题解析→诱导公式→巩固练习

1、问题引入，激发兴趣

【问题1】等式cos()coscos是否恒成立？

【回答1】举反例cos900、cos452

，而cos45cos90cos45 2（设计思路）学生用具体的数加以检验，通过检验发现cos()不能简单的用coscos或是coscos等来表示，从而明确余弦运算不满足分配律。

【活动】用计算器计算cos(9060),cos90,cos60,sin90,sin60

cos(4515),cos45,cos15,sin45,sin15，尝试归纳出两角差的余弦与这两个角各自的余弦、正弦有何关系？

2、两角差的余弦公式推导

【操作流程】

1、在直角坐标平面系的单位圆中作出任意角和；

2、角的终边与单位圆相交于点A，角的终边与单位圆相交于点B，试分别用和的三角函数值表示点A和点B的坐标。

3、将角的终边OA、OB都绕O旋转角，分别转到OA和OB的位置，试表示A',B'两点的坐标。

4、用两点间距离公式表示AB和A'B'，并写出两者的关系。

5、化简步骤4中所得到的关系式，推导出两角差的余弦公式

【导学任务单】

(cos,sin)A

两角差的余弦公式的推导

Oy

yA(cos(),sin())B(cos,sin)xOB(1,0)xAB________________________________________

A'B'_______________________________________

结论：cos()_______________________________

（设计思路）学生能通过导学任务单，一步一个台阶击破各项任务，从而学习并且推导出两角差的余弦公式。学生在学习过程中，不会感到太困难，并且能够逐渐提高自主学习的兴趣，激发学习热情。

【问题2】如何得到两角和的余弦公式？

【回答2】在两角差的余弦公式中，用代替.可得到两角和的余弦公式：cos()coscossinsin.（代换思想）

两角和与差的余弦公式在结构上的特征为： 1、公式左边是复角的余弦，右边是单角的余弦之积以及正弦之积的和与差；

2、左右两边的加减号互异.

3、例题解析

例1、利用两角和与差的余弦公式，求cos15、cos75的值. 解：cos156262、cos75

44[说明]可以选择不同的角及公式，例如，cos15cos(6045)、cos15cos(4530)；cos75cos(12045)、cos75cos(4530)

例2、化简：coscos(60)sinsin(60)

解：coscos(60)sinsin(60)cos(60)cos60[说明]两角差的余弦公式逆用. 例3、求cos80cos50cos10cos40的值.

解：原式cos80cos50sin80sin50cos30[说明]公式变式训练. 3

21

2

4、第五、六组诱导公式

求证下列恒等式

（1）cos()sin（2）sin()cos

22证明：（1）cos()coscossinsinsin

222（2）将（1）式中的换成后，就有

2cos[()]sin()

即sin()cos

2222由上述两个结果可以得到tan()cot、cot()tan

22

【问题3】如何得到cos()？

2【回答3】利用代换思想将第五组诱导公式中的替换成

第六组诱导公式：

sin()cos

2cos()sin

2tan()cot

2cot()tan

2（设计思路）由所学的两角和与差的余弦公式推导出第五组诱导公式，以此为基础再次利用代换思想推导出第六组诱导公式，以此培养学生公式的运用能力，体现三角在数学学习中的工具性。

5、巩固练习

完成课后练习5.4（1）

五、作业：练习册

六、教学反思：三角比章节的公式很多，如果硬生生的把公式塞给学生，让学生背下来然后做题，学生不仅遗忘率高，而且很难灵活运用，所以在

教学中，应该重视公式的推导。课堂教学也应该让学生尽可能多体现他们的思维过程，让学生讲、让学生写，规范其语言及文字表达，这样更能提升学生的思维能力。