6.3 函数ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）的图像与性质课时教学实录

虹口区高中数学公开课教案

【课题】

三角函数应用题的探究

执教老师：华东师大一附中

华文娜

执教班级：高三（6）班

执教时间：2019年5月8日

13:15—13:55 【教学目标】

1.经历圆周运动等模型的建模过程，感受数学抽象的过程，培育数学建模素养；

2.通过对三角函数为背景的应用题的探究，学会选取合适的变量进行数学建模，促进分析问题、解决问题能力的发展；

3.通过对两类实际问题的探究，提升思维品质，体会数学与实际生活的联系，感悟数学学的应用价值.

【教学重点、难点】

重点：三角函数为背景的应用题的研究思路；

难点：三角函数为背景的应用题的研究方法与技巧.

【教学过程】

一、引入

设摩天轮的半径为R，起始时OP. OP0与Ox的夹角BOP00（图中的取负值）绕O按逆时针方向做匀速旋转运动，其角速度为（弧度/分）.经过t分钟后，OP0达到OP，此时POP0t，而BOPt，P的纵坐标为y，于是有

yRsin(t). 这一函数关系反映了点P纵向的运动规律.

二、典型例题分析

例1．如图，摩天轮的半径为40m，摩天轮的圆心O点

距地面的高度为50m，摩天轮逆时针方向做匀速转动，

每

3min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.已知

在时刻t（min）时点P距离地面的高度为

f(t)Asin(t)h(22)，

试确定A、、、h，并求出2019min时点P距离地面的高度. 设计意图：经历从建模到解模的过程，认识该函数模型.

解：依题意A40,h50,T3，则2，且f(0)10，故.所以32f(t)40sin(2t)50(t0). 3222019)5010. 则f(2019)40sin(32

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跟进练习：

右图表示一半径为10米的水轮.水轮的圆心离水面5米. 已知水轮逆时针做匀速旋转，每分钟转4圈.设水轮上的点P

到水面距离d(米)，时间为t(分钟). （1）

如果P点从水中浮现时开始计算时间，写出P点位

于水面上方时，d(t)关于t的函数关系式. （2）P点第一次达到最高点大约要多长时间？

设计意图：巩固圆周运动的建模与解模，体会数学与实际生活的联系. 解：(1)由题意设dasin(t)b，其中则b5，又T22，则a10，ab15，12min，则8，

4T1，且，则222因此d(t)10sin(8t)5，又d(0)0，故sin6. 故d(t)10sin(8t6)5.又d(t)0，因此k3k2t(kN). 412(2)设P点在时间t达到最高点时，d(t)10sin(8t6)515，解得t3k1(kN)，

121min，因此P点第一次达到最高点需要12当k0时，P点第一次达到最高点，此时t1min时间. 12例2 .

在幻灯机的正前面墙上挂一块矩形屏幕，其

上、下边缘分别在经过幻灯机头的水平面的上方a米，b米(ab).问幻灯机头距墙面多远时对于屏幕的上下视角（影响图像清晰度的重要因素）最大？这个最大视角是多少？

设计意图：经历一般模型的建模过程，感受自变量的选取方法及解模过程中的函数性质的应用. 解：如图，设幻灯机头O距墙面距离OHx米，过H垂直于地面的直线与屏幕上下边缘的交点依次是A与B，则AHa米，BHb米.设AOH,BOH，则幻灯机头对屏幕的上下视角为(0由于tan2). ab,tan，且ab0，则

xx

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abtantanab

tantan()xxabab1tantan1xxxxabab. ab2ab2xx其中当且仅当x则tanmaxab即xab时，等号成立. xab(0). 22abab)内是增函数，maxarctan(). 则当xab米时，22abab). 答：幻灯机头距墙面ab米时对于屏幕的上下视角最大，最大视角为arctan(2ab又因为f()tan在(0,解法2提示

sinsin()sincoscossin

(ab)xx4(a2b2)x2a2b2解法3提示

coscos()coscossinsin

x2abx4(a2b2)x2a2b2

解法4提示

11OAOBsinSABOH，则

AOB由于22sin

(ab)x(xa)(xb)2222. 跟进练习：

某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2（宽度忽略不计），如图所示，已知ABAC，ABACAD60（单位：米），要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D，圆M2与AC、AD分别相切于点C、D. （1）

若BAD60，求圆M1、M2的半径

（结果精确到0.1米）; （2）

若观景步道M1与M2的造价分别为每米

0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆M1、M2的大



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小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确

到0.1千元）

设计意图：进一步体会一般模型中自变量选取的方法及解模过程中的函数性质的应用.

解：(1)由题意：BAD60，因此M1AD1BAD30，

2M2在RtDAM1中，DM1ADtanM1AD60tan3034.6（米）；

同理，DAC30

，因此M2AD1CAD15，

2M1在RtDAM2中，DM2ADtanM2AD60tan1516.1（米）. (2)设DAM1BAM1，则DAM2CAM2在RtDAM1中，DM1ADtanM1AD60tan，

在RtDAM2中，DM2ADtanM2AD60tan(，其中(0,)，

444)，

设总造价为y千元，则y0.8260tan0.9260tan(4)

8tan2tan912[8tan9tan()]12

41tan令t1tan,t(1,2)，

8(t1)2(t1)98t217t18181212(8t17)

则y12ttt12(281817)84. 当且仅当8t此时tan183，即t时，等号成立. t21，则M1D30，M2D20，此时最低总造价为263.9千元. 2三、课堂小结：

试题归类：

命题：源于课本

解题：建模；解模；变式

四、

课后探究：

1.

设摩天轮逆时针方向匀速旋转，24分钟旋转一周，轮上观光箱所在圆的方程为

，x2y21.已知时间t0时，观光箱A的坐标为(1,3)，则当0t24时（单位：分）22

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动点A的纵坐标y关于t的函数的单调递减区间为

2.

某游乐园的摩天轮半径为40米，圆心O距地面的高度为43米，摩天轮做匀速转动，

每24分钟转一圈，摩天轮在转动的过程中，游客从摩天轮距地面最低处登上吊舱，若忽视吊舱的高度，小明在小强登上吊舱4分钟后登上吊舱，则小明登上吊舱t(0t24)分钟后，小强和小明距地面的高度差为

（

）

A.40cos(12t6)

B.40sin(12t6)

C.40cos(12t3)

D.40sin(12t3)

3.

某政府决定将一扇形（如图）荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为

市民健身活动场所，其余区域（阴影部分）改造为景观绿地（种植各种花草）.已知该扇形OAB的半径为200m，圆心角AOB60，点Q在OA上，点M,N在OB上，点P在弧AB上，设POB. （1）若矩形MNPQ为正方形，求tan的值；

（2）为方便市民观赏绿地景观，从P点处向OA,OB修建两条观赏通道PS和PT（宽度不计），使PSOA，PTOB，其中PT依PN而建，为让市民有更多的时间观赏，希望PSPT最长，试问：此时点P应在何处？说明你的理由. 

4.

如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段AB,AC和以BC为直径的半圆弧组成，

其中AC为200m，ACBC，A3，若在半圆弧BC，

线段AC，线段AB上各建一个观赏亭D,E,F，再修两条

栈道DE,DF，使DE平行于AB，DF平行于AC，记

CBD(3. )2（1）试用表示BD的长；

（2）试确定点E的位置，使两条栈道长度之和最大.

5.如图，A,B,C三地有直道相通，AB5km，AC3km，BC4km.现甲、乙两

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警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f(t)（单位：千米）.甲的路线是AB，速度是5km/h，乙的路线是ACB，速度为8km/h.乙到达B地后在原地等待.设tt1时，乙到达C地. （1）

求t1与f(t1)的值；

（2）

已知警员的对讲机的有效通话距离为3km. 当t1t1时，求f(t)的表达式，并判断f(t)在[t1,1]

上的最大值是否超过3？说明理由.