正弦定理、余弦定理和解斜三角形名师教学实录

《正弦定理和余弦定理》教学设计

上海大学附属中学

顾晨曦

一、

教学内容解析

本节内容选自上海教育出版社《数学》高一年级第二学期第五章《三角比》5.6正弦定理、余弦定理和解斜三角形。5.6小节约4课时，第1课时通过探究证明正余弦定理；第2课时应用正、余弦定理解三角形；第3课时，推导扩充的正弦定理并应用；第4课时运用解三角形的知识解决实际问题。本节课是第一课时。

正弦定理和余弦定理是定量研究三角形边角关系的基础，是三角函数与平面几何的完美结合，为解三角形提供了基本方法，是典型的用代数方法来解决几何问题的类型；为后续解决各种实际问题提供了理论基础和操作工具，在日常生活和工业生产中应用十分广泛。

教材强调学生在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，突破原有初中直角三角形边角关系的局限，发现并掌握三角形中的边长和角度之间的数学量化思想。在研究发现正、余弦定理这一对优美的关系式的过程中，本教学设计发挥学生的主动性，充分利用ppt课件、视频微课、电子白板等信息化手段为辅助，使学生的学习过程，在教师的引导下成为探究过程、再创造过程。

纵观正余弦定理的发展史，证明方法分别经过了：（正弦定理）韦达法-直角三角形法-辅助直径法-解析几何法等，（余弦定理）勾股定理法-韦达法-射影公式法-解析几何法等。数学史的演变告诉我们，正余弦定理深深根植于几何的土壤之中，应用几何依据，建立几何关系，论证严谨，但需要注意分类讨论。此外，借助坐标方法证明也是不错的选择，可以使三种情况得到统一。所以，在教学过程中，可向学生提问定理是否有其他证明方法、在证明过程中有何其他发现，并介绍正余弦定理的发展过程，增加他们对于数学史和数学文化的了解，激发学习数学和研究数学的兴趣，提升学生的数学核心素养。

基于以上分析，本节课的教学重点是：

通过对三角形边角关系的探索，发现并证明正弦定理、余弦定理。

二、

教学目标设置

1．经历正弦定理、余弦定理的推导过程；感受由特殊到一般、合情推理、分类讨论的数学思想，提升逻辑推理、数学运算的核心素养。

2．理解用两边及夹角正弦表示三角形面积的公式，了解正弦定理和余弦定理可以从多种途径证明；体会到事物之间的普遍联系与辩证统一。

3．能从实例中抽象出三角形边角关系，应用正余弦定理解决解三角形的简单问题；提升数学抽象和数学建模的素养。

三、

学生学情分析

执教班级为上海市普通中学高一年级学生。学生已经系统学***面几何，解直角三角形，三角比等知识。虽然对于学生来说，有一定观察、分析、解决问题的能力，但定理的发现，探索、证明还是有一定的难度，教师恰当引导调动学生学习主动性，注重前后知识间的联系，激起学生学习新知的兴趣和欲望，力图使定理得到证明并可以产生不同的推导方法。

基于以上分析，本节课的教学难点是：

用不同方法证明正弦定理、余弦定理。

四、

教学策略分析

1.课堂活动重探究。采用探究式课堂教学模式。整个过程包括提出探究问题 确定

1

探究方案

完成探究过程。

2．精心设计问题串。以问题驱动，学生主动参与知识建构，形成方法、提升能力。

3．形成问题学习链。学生独立思考和小组合作探究相结合，学生汇报交流和老师点拨引导相结合，形成以提出问题与解决问题相互引发、携手并进的“探究问题”学习链。

4．重视生成展思维。在探究过程中，重视学生生成，激发学生思维，让学生真正成为知识的“发现者”和“研究者”，在知识的发成、发展过程中展开思维。

五、

教学过程设计

（一）

创设情境，提出问题

情境：出示西安半坡遗址博物馆中的彩陶残片，上面有多种几何图形，反映了公元前6000年人类对于数学知识的探索。如果下图是其中一块三角形残片的示意图，已知AC= cm，

∠A= °，∠B= °，为了复原残片，应该怎么做？

师生活动：教师利用几何画板展示残片复原的图片。请学生利用电子白板测量出长度和角度，提出问题：能否把这个实际问题抽象为数学问题？如何解决？

学生利用原有直角三角形知识，解决问题。教师提炼直角三角形中边与对角正弦的比例关系式。

设置意图：使用半坡文化的数学启蒙图作为引入，增加学生对于数学文化的了解，激发学习兴趣。通过将实际问题转化成数学问题，即已知三角形的两角及其夹边，求另一个角和另外两条边。在这个过程中提升学生数学抽象的素养，增加数学建模的经验。而直角三角形中边角关系的复习，为下一步的研究进行了铺垫。

（二）

分析问题，探究正弦定理

探究1：如果是锐角三角形，又应该如何求出边a？

师生活动：学生小组讨论，教师请学生回答解决方案，在这个过程中，扑捉学生的辅助线做法和三角形高的不同表示方法。提出问题：刚才直角三角形中的关系式在锐角三角形中是否仍然成立？在钝角三角形中又该如何解决呢？

设置意图：借此引发学生的认知冲突，引导学生提出问题，体现分类讨论的思想和数学的严密性，使学生产生进一步探索解决问题的动机。

abc结论1：正弦定理：三角形中各边与它对角的正弦的比相等，即：

sinAsinBsinC师生活动：教师说明正弦定理是直角三角形边角关系的一个推广，并指出正弦定理可以解决（1）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角。（解的情况不一定唯一）（2）已知两角和一边，求其他角和边.

探究2：你还有其他证明正弦定理的方法吗？

师生活动：教师提示指导学生思考，播放面积法证明的微课。得到结论2. 111SabsinCacsinBbcsinA结论2：三角形面积公式

ABC222师生活动：教师总结公式。介绍正弦定理发展历史，并提出证明方法还有很多，有兴趣的同学可以课后继续研究。

设置意图：通过不同证明方法的介绍，让学生开拓思路，体会到事物之间的普遍联系与辩

2

证统一。利用微课手段，让学生体会到公式所表达的数学当中对称的美感。通过渗透数学史的内容，激发学生学习科学文化知识的热情，体会到数学的发展历程中，所有的数学人，不分国界，不分时代，共同推动着数学不断向前．

（三）

再接再厉，发现余弦定理

探究3：若有如右图所示的残片，在△ABC中，已知∠BAC及AB=c，AC=b，如何计算边a（即BC）？

师生活动：学生分组讨论，确定方案，展示结果。教师通过方案展示，产生几何法推导余弦定理，并在直角三角形、钝角三角形等不同三角形中验证直角和钝角可以得到同样的结论。进而揭示余弦定理的内容，得到结论3. 结论3：余弦定理：三角形一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦值乘积的两倍，即

a2b2c22bccosA师生活动：教师指出余弦定理是勾股定理及其逆定理的推广，勾股定理是余弦定理的的特例。指出余弦定理的用途可以解决：已知两边和它们的夹角求第三边。在已知三边的情况下，可以求出角的余弦，得到余弦定理的角的表达形式。

设计意图：通过确定方案，放手让学生自己探究发现证明余弦定理，提升逻辑推理和数学运算的核心素养，在计算过程中得到定理，体会学习数学的乐趣。通过认识勾股定理和余弦定理的关系，领悟从特殊到一般的思想方法。利用余弦定理完善不同解三角形类型题目的解决方案，为后续解斜三角形的应用埋下伏笔。

探究4：余弦定理还有其它证明方法吗？

师生活动：必要时教师加以引导如：几何法证明需要分类讨论，我们在前面定义任意角的三角比的时候，利用平面直角坐标系当中的坐标，将三角比表达式进行了统一；在推导两角差的余弦公式的时候，使用了平面直角坐标系中两点之间距离公式。那么这个问题，是否也可以用坐标法求解呢？展示学生研究成果，得到余弦定理的坐标法证明。

设置意图：将原有的知识与现有的推理相联系，从多个角度联想去发现和解决问题，自主探究获得定理的证明。使其在探究中对问题本质的思考逐步深入，再次体会到数学知识之间千丝万缕的联系和统一，思维水平不断提高，解决问题的方法不断增多。

（四）

例题展示，巩固定理

例1、

在△ABC中，已知b=7.5,∠A=40°,∠C=88°求∠B，边c、边a.(精确到0.01) 例2、

在△ABC中，已知a=5,b=4,∠C=110°，求c. 设置意图：例1是应用正弦定理完成本节课开始的问题，例2是应用余弦定理。通过两个例题，巩固熟悉两个定理，从例题的思考，展示，交流，点评中使学生对正余弦定理解三角形有初步的体验。

（五）

课堂小结，提炼过程

学生自主小节学习结果、过程、体会，教师补充

设置意图：从数学知识和数学思想两方面进行小结。

（六）

布置作业，课后探究

1、见课后配套作业

2、请课后查阅了解余弦定理的发展历史。

3、长作业：尝试由正弦定理推证出余弦定理；并探究两个定理的其他证明方法。

设置意图：作业1是巩固熟悉正余弦定理，作业2的目的是使学生了解数学史和数学文

3

化，激发学习兴趣。作业3使学生体会定理之间的联系，探索其他证法，体会数学的妙处。

（七）

板书设计（见下图）

六、

教后反思：

本节课容量较大，在课上虽然比较顺利的完成了所设计的内容，但是感到留给学生的讨论时间还是不足，部分学生对于定理的得出过程还不是很清晰，是由教师点拨得出的结论，在今后的课堂设计中，面对课堂容量大的教学内容，笔者应该将语言组织得更加精炼，以将更宝贵的课堂时间更多的留给学生。

5.6正弦定理和余弦定理

2、

余弦定理 1、

正弦定理

c2a2b22abcosC 证明：

证明：

a2b2c22bccosA ⑴几何法

b2a2c22accosB ⑵坐标法

⑴

作高法

⑵

等面积法

。。。。

SABC1absinC2

a2b2c2cosC 。。。。

2abb2c2a2cosA

2bca2c2b2cosB

2ac2、可解决的解三角形问题 ①已知两边及其夹角

②已知三边

1bcsinA21acsinB2已知两角及一边

2、可解决的解三角形问题 已知两边及一角（不一定唯一）

4