5.4 两角和与差的余弦、正弦和正切第一课时教学设计

两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一）

【教学分析】

本节内容主要是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，为了引起学生学习本节知识的兴趣，理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和的余弦公式、两角和与差的正弦公式的方法。体会三角恒等变换的过程，理解推导过程，掌握其应用从而激发学生对本章内容学习的兴趣和求知欲。

【教学目标】

1.

掌握两角差的余弦公式，两角和与差的正弦公式的推导过程及其公式的特征，体会公式推导过程中所蕴含的数学思想，培养学生逻辑推理的学科核心素养。

2.

能够运用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的求值、化简和证明，培养学生数学运算的学科核心素养。

3.

培养学生的正、逆向思维能力，构建良好的思维品质。

【教学重点】两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导。

【教学难点】灵活运用所学公式进行求值、化简、证明。

【教学方式】探究式、合作式

【教学过程】

一、

温故知新

复习第一章中的诱导公式和两角差的余弦公式：

sin()cossin(x)sinxsin()cos22

cos(x)cosx  

cos()sintan(x)tanxcos()sin22

和上节课我们学习的两角差的余弦公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

（着重强调诱导公式的第三组和第五组和两角差的余弦公式）

二、提问：

问题一：怎样用角α和角β的三角函数表示角α+β的余弦呢？

问题二：怎样用角α和角β的三角函数表示角α+β和角α-β的正弦呢？

教师引导学生观察cos(α-β)与cos(α+β)、sin(α-β)的内在联系，进行由旧知推出新知的转化过程，从而引出C(α+β)、S(α-β)、S(α+β)

师生共同探究公式的推导及其应用。

二、

讲授新课（合作探究）

1、

推导：两角和余弦公式cos(α+β)

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ在公式C(α-β)中，教师可以引导学生比较cos(α-β)与cos(α+β)中角的内在联系，然后根据两种思路来探究

思路1：

加减运算关系直接把和角α+β化成差角α-(-β)的形式。

思路2：

请学生思考角α-β中β换成角-β是否可以？鼓励学生大胆猜想，学生有的会

发现α-β中的角β可以变为角-β，所以α-(-β)=α+β（留作学生思考）

从而就把两角和的余弦公式联系到公式C(α-β)上来，这样就很自然地得到

cos(α+β)=cos［α-(-β)］

=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)

=cosαcosβ-sinαsinβ

所以有如下公式：

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

我们称以上等式为两角和的余弦公式，记作C(α+β).

2、思考：在公式C(α-β)、C(α+β)的基础上推导sin(α+β)=？

、sin(α-β)=？

教师引导学生观察思考，怎样才能通过C(α-β)、

C(α+β)得到两角和与差的正弦公式呢？我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？

提示：学生可能有的想到利用诱导公式⑸

⑹来化余弦为正弦

sincos()2

3、

尝试探究：两角和差的正弦公式的推导

学生自主完成两角和与差正弦公式.

sin(α+β)=cos［-(α+β)］=cos［(-α)-β］=cos(-α)cosβ+sin(-α)sinβ

2222=sinαcosβ+cosαsinβ.

在上述公式中,β用-β代之，则

sin(α-β) =sin［α+(-β)］

=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)

=sinαcosβ-cosαsinβ.

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.

因此，我们得到两角和与差的正弦公式，分别简记为S(α+β)、S(α-β).

4、比较两组公式，加深公式理解记忆

注意两组公式的结构特征和符号的规律：

对于公式C(α-β)、C(α+β)可记为“同名相乘，符号反” 对于公式S(α+β)、S(α-β)可记为“异名相乘，符号同”

三、

典型例题讲解

3例1：已知sinα=,α是第四象限角，求sin(-α),cos(+α)的值

544

解：由sinα=343,α是第四象限角，得cosα=1sin2a1()2. 555于是有sin(242372(),-α)=sincosα-cossinα=444252510

cos(242372(),+α)=coscosα-sinsinα=444252510

教师引导学生分析题目中条件和问题以及它们之间的关系，进一步思考怎样解题，是从问题入手还是条件入手，又需要注意什么。学生遇到问题，分析问题，解答问题的能力，加强数学建模核心素养的培养。

在本题中可以直接从问题入手，利用两角差的正弦，公式，两角和的余弦公式求解，教师可以完全让学生自己独立完成。

一题多变，举一反三

变式1：已知sinα=变式2：已知

sin(3,求sin(+α), cos(+α)的值。

544 -α)= ,-α是第二象限角，求sinα, cosα的值。

44

通过一个典型例题巩固基本知识，掌握应用方法。例题的代表性、典型性、示范性，又能让学生体会其中知识之间的联系，其中蕴含的方法和规律，达到举一反三，事半功倍的效果。

例2.求下列各式的值

(1)sin72°cos18°+ cos72°sin18°=

______ (2)cos72°cos18°- sin72°sin18°

= ______

四、

课堂小结

本节我们学习了两角和余弦和两角和与差正弦公式，我们要熟记公式的结构特征以及等号两边的符号问题，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用公式，不仅要会正用，还要能够逆用公式。总结两角和与差的余弦、正弦以及正切之间的关系，形成一个知识体系。

五、

课后作业

1.教科书练习题1，2 2.思考：是否可以直接用α、的正切值直接表示tan(α+). （

即：思考是否可以直接用两角的正切值表示两角和与两角差的正切呢？如果能，需要注意什么？请同学课后积极思考，下节课我们将着重解决这个问题。）