3.2.1 几个常用函数的导数课时教学实录

3.2.1几个常用函数的导数

教学目标

1、能够用导数的定义求几个常用函数的导数；

2、利用公式解决简单的问题。

教学重点和难点

重点：推导几个常用函数的导数。

难点：推导几个常用函数的导数。

教学方法

自己动手用导数的定义求几个常用函数的导数，感知、理解、记忆。

教学过程

一、

复习回顾

1、函数在一点处的导数的定义。

2、导数的几何意义。

3、导函数的定义。

4求函数的导数的步骤。

二、

新课学习

1．函数yf(x)c的导数

yf(xx)f(x)cc0

根据导数定义，因为xxx所以y'lim函数

ylim00

x0xx0导数

y'0表示函数yc图像上每一点处的切线的斜率都为0．若yc表示路程关于时间的函数，则y'0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．

2．函数yf(x)x的导数

yf(xx)f(x)xxx1

根据导数定义，因为xxx

ylimlim11

所以y'x0xx0函数

导数

y'1表示函数yx图像上每一点处的切线的斜率都为1．若示路程关于时间的函数，则动．

yx表y'1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运经典探究1：在同一平面直角坐标系中,画出函数y=2x,y=3x,y=4x的图象,并根据导数定义,求它们的导数.

(1)从图象上看,它们的导数分别表示什么? (2)这三个函数中,哪一个增加得最快?哪一个增加得最慢?

(3)函数y=kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关? （指导学生完成）

23．函数yf(x)x的导数

根据导数定义，因为

yf(xx)f(x)(xx)2x2x22xx(x)2x22xx

xxxxylimlim(2xx)2x

所以y'x0xx0函数

2导数

y'2x表示函数yx图像上点(x,y)处的切线的斜率都为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的

瞬时变化率来看，表明：当x0时，随着x的增加，函数yx减少得越来22x0yxyxx越慢；当时，随着的增加，函数增加得越来越快．若表2示路程关于时间的函数，则y'2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x．

14．函数yf(x)的导数

x根据导数定义，因为

11yf(xx)f(x)xxxx(xx)12

xxxx(xx)xxxx所以y'limy11lim(2)2

x0xx0xxxx函数

导数

1经典探究2：画出函数y的图象.根据图象,描述它的变化情况,并求出曲x线在点(1,1)处的切线方程. （指导学生完成）

5.函数yf(x)x的导数

yf(xx)f(x)xxx根据导数定义，因为

xxx

(xxx)(xxx)1x(xxx)xxx

所以y'lim

y11lim

x0xx0xxx2x

小结：

（1）1. 若f(x)c（c为常数）, 则f(x)0；

2.若f(x)x, 则f(x)1

；

3.若f(x)x2 ,则f(x)2x；

4．若f(x)11x,则f'(x)x2

5.若f(x)x,则f'(x)12x

（2）推广：若yf(x)xn(nQ*)，则y'f'(x)nxn1

这个公式称为幂函数的导数公式.事实上n可以是任意实数. 三、例题分析

例1．

求 (1) (x3)' (2) (1x2)'

（学生独立完成老师点评）

例2．已知曲线yx3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为( ) A． (－2，－8) B．(－1，－1)或(1,1) C．(2,8) D.（1,8）

例3．已知函数f(x)1x，求曲线yf(x)在点（1,1）处的切线方程．

（老师讲解，规范解题过程）

四、

巩固练习

1 求下列幂函数的导数

1（1）

yx5 （2）yx2 （3）y3x （4）y3x5

五、课堂小结

1．五个常用函数的导数：

2．求函数导数的步骤：

（1）求函数的改变量yf(xx)f(x)；

yf(xx)f(x)（2）求平均变化率；

xx（3）得导数y=f(x)ylim．

x0x3．函数的导数的不同角度意义的解释：

（1）几何意义的解释是：曲线yf(x)在点（x0,f(x0)）处的切线的斜率；

（2）物理意义的解释是：物体运动在某一时刻的瞬时速度．

六、课外作业

1．已知圆面积S2．已知r22，根据导数定义求S(r)．

f(x)x,求f(3)．

(1,1)的切线的直线方程．

3．求过曲线4．求曲线

yx23上点y2x1的斜率等于4的切线方程．