复习参考题优秀教案内容

曲线的轨迹方程的求法

一、教学目标

（1）使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法。

（2）通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力。

（3）通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生掌握常用动点的轨迹，为学习物理等学科打下扎实的基础。

二、教学重难点

1、重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法。

2、难点：各种方法的灵活运用。

三、教学过程

求的轨迹方程是解析几何的的基本问题，是高考中的一个热点和重点，课本中对于曲线的求法又多次体现，今天我们将课本原题再现。

（一）直接法求曲线方程：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直接法．

直接法求曲线方程的步骤：

（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标；

（2）写出适合条件p的点M的集合P={M︱p（M）}；

（3）用坐标表示条件p（M）,列出方程f（x,y）=0；

（4）化方程f（x,y）=0为最简形式；

（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。

例1：（课本P35例3）设A、B点的坐标分别为A(5,0)B(5,0)，直线AM和BM相4交于点M，且它们的斜率之积为，求点M的轨迹方程。

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变式1：（课本P48探究）设A、B点的坐标分别为A(5,0)，B(5,0)直线AM和BM相交于点M，且它们的斜率之积为4，求点M的轨迹方程。并由点M的轨迹方程判断9轨迹形状。与例题1比较，你有什么发现？

变式2：（课本P36练习4）设A、B点的坐标分别为A(1,0)，B(-1,0)，直线AM和BM相交于点M，且它们的斜率之商为2，求点M的轨迹方程。

变式3：已知M（x，y）与两个定点A(26,1)，B(2,1)的距离之比为5，求点M的轨迹方程。

例2：（课本P,41例6）已知M（x，y）与定点F(4,0)的距离和它到直线l: x=

425的距离之比为常数，求点M的轨迹方程。

54变式1：（课本P43 B组2）点P与定点F(2,0)的距离和它到直线l:x=8之比为1，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。

2

例3：（课本P52例5）已知M（x，y）与定点F(5,0)的距离和它到直线l:x=之比为

1655，求点M的轨迹方程。

4ca2变式1：（课本P54 B组3）求到定点F(c,0)的与到直线l:x=之比常数acc（1）的点的轨迹方程。

a

学后反思 当动点所满足的条件本身就是一些几何量的等量关系或这些几何条件简单明了易于表达时，只要将这种关系“翻译”成含x、y的等式就能得到曲线的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称之为直接法。 （二

）

定义法求轨迹：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法． 例4:（课本P54 A组5）如图，圆O的半径为定长r,A是圆O外一定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方是什么？为什么？

变式1：（2017成都模拟）已知圆C: (x+1)2+y2=8

和点A（1，0），P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方是什么？

变式2：（课本P42 A组7）圆O的半径为定长r,A是圆O内一个一定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方是什么？为什么？

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和圆C2: (x-2)2+y2=，动圆1616Q与圆C1及圆C2均外切.求动圆圆心Q的轨迹方程。 2变式3：（）已知圆C1: (x+2)+y2=

12圆圆心P的轨迹为曲线E,求E方程。 变式4：（2017重庆模拟）点F

(0,)

和圆P经过F且和直线y=-1相切，记动2

学后反思 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义，如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义求出动点的轨迹方程: 首先要结合圆锥曲线的定义，分析出曲线的类型，再按定义写出标准方程。

（三）相关点法求曲线方程：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标（x0，y0）所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法． 例5：（课本P34例2）如图2.1-5，在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程。

变式1：（课本P43B组1）如图DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且DM3||=,当点P在圆x2+y2=4上运动时，求点M的轨迹方程，并说明轨迹的DP2形状，与例5相比，你有什么发现？

学后反思：对涉及较多点之间的关系问题，可先设出它们各自的坐标，并充分利用题设建立它们之间的相关关系；再对它们进行转化和化简，最后求出所求动点坐标所满足的方程.这种根据已知动点的轨迹方程，求另外一点的轨迹方程的方法称为代入法或相关点法. 四、课堂练习

ABCDA1BCBB1C1C内一动点,若P到直线 BC11D1中, 是侧面 1、如图,正方体 C1D1的距离相等,则动点 的轨迹所在的曲线是( ) 与直线 A.直线 B.圆

C.双曲线 D.抛物线

2、等腰三角形ABC中，若一腰的两个端点分别为A(4,2)、

B(－2,0)，A为顶点，求另一腰的一个端点C的轨迹方程。 3、已知一条直线 L和它上方的一点F ,点F到L的距离是2,一条曲线也在L的上方,它上面的每一个点到 F的距离减去到L的距离的差都是2,建立适当地坐标系,求这条曲线的方程。 五、课堂小结

求曲线的方程常用的几种方法 （1）直接法 （2）定义法(待定系数法) 3）相关点法 （