习题2.1评课稿

圆锥曲线与方程小结教学设计（第一课时）

张科元

（湖北省黄冈中学）

一、教学设计

1．教学内容解析

从教材的编排来看，在必修课程学***面解析几何初步的基础上，本模块中，共安排了四个小节，一节曲线与方程，一节椭圆，一节双曲线，一节抛物线．后三节的内容基本上都是通过“画曲线，给定义，建系，找方程，利用方程研究几何性质”的方法来研究这三种曲线的．要求学生了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的简单几何性质，以及用坐标法研究平面几何问题的具体过程，感受圆锥曲线在解决实际问题中的重要作用，体现了数形结合的重要数学思想，而本节课是对整章内容的回顾、归纳与总结．本章之所以将椭圆、双曲线、抛物线三种曲线放在一起研究学习，不仅因为它们的研究方法相同，还因为它们有着诸多的相似性质和结论，只有我们真正找出它们的性质与结论之间的区别与联系，才能更清楚地认识、掌握这三种曲线．根据以上分析，本节课的教学重点确定为：

【教学重点】

（1）通过课本的例题习题对比、总结归纳，得出有心圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线）的相似性质和结论；

（2）回顾椭圆、双曲线的简单几何性质．

2．教学目标设置

《圆锥曲线与方程》是人教版数学选修2-1第二章，要求学生了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，进一步体会数形结合的思想．从内容与课堂容量来讲，圆锥曲线与方程的小结需要2课时完成，本节课所讲内容力图通过联系例题习题对比，完成新的知识构建，提高学生类比学习、总结归纳、探中求知的能力．

通过复习圆锥曲线的光学性质，激发学生探究圆锥曲线性质的兴趣与热情；在课本探究部分帮助学生题中抽知，动态生成一般性结论．根据以上分析，确定教学目标如下：

【教学目标】

（1）要求学生能从特殊的例题、习题中总结出一般性结论，能通过实例探究回顾椭圆、双曲线的简单几何性质．

（2）培养学生概括数学问题的能力，有条理地研究问题的能力，灵活运用知识的能力．

（3）通过自主探究、合作学习、相互交流，培养学生的探究意识和团队协作精神．

3．学生学情分析

学生在学习完新课后，已掌握了椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及简单几何性质，能运用这些性质解决简单的实际问题，但知识还是零碎的，知识间的内在联系、研究方法还比较模糊，可能在以下方面还存在问题：

1．如何完成知识间的网络建构；2．如何通过类比、观察发现，总结它们之间区别与联系．这些探究总结过程没有老师的引导，还是很难完成的．所以本节课的教学难点确定为：

【教学难点】

（1）“归纳推理”、“类比推理”的数学思想的运用；

（2）灵活运用所学知识解决问题．

4．教学策略分析

作为章节小结课，教学容量大，要求学生参与度高，需采用实物投影仪、多媒体课件、几何画板辅助教学.

5．教学基本流程

温故知新

归纳探究

类比探究

实例探究

课堂小结

6．教学过程

（1）温故知新

【问题1】根据上次课的自学，你能说出圆锥曲线具有怎样的光学性质吗？

生：抛物线的光学性质是：从焦点发出的光线，经过抛物线反射后，反射光线平行于

抛物线的轴；椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上；双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们的反向延长线交于另一个焦点．

师：根据学生的回答，逐一展示其简单动画过程．

【设计意图】这是学生自学完阅读材料“圆锥曲线的光学性质”之后的复习巩固，有

承前启后的作用，能快速地引入课题．

（2）归纳探究

【问题2】先看课本上的两个问题：

题1：（2.2.1椭圆及其标准方程p41例3）设点A,B的坐标分别为(5,0),(5,0)，直线

AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积为4，求动点M的轨迹方程．

9题2：（2.3.1双曲线及其标准方程p55探究问题）设点A,B的坐标分别为(5,0),(5,0)，

直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积为4，求动点M的轨迹方程．

9请同学们完成以上两题的解答，然后通过类比，看看能否总结出一般性结论？

生：（分组探究）

师：（请学生代表上台展示结果）

生：【结论】平面内一动点与两定点的连线的斜率之积为定值，记为m，若m0，

则动点的轨迹（包括两定点）为双曲线；若m0且m1，则动点的轨迹（包括两定点）为椭圆；若m1，则动点的轨迹（包括两定点）为圆．而椭圆、双曲线与圆都有中心，故又把这三种曲线称为有心圆锥曲线．

【设计意图】这部分以课本的两个题目为例，让学生带着问题展开探究，总结结论，展

示成果。实现了“源于课本，而高于课本”的引申过程．

（3）类比探究

【问题3】圆上任意一点M与一直径的两个端点A、B（M与A、B互异）的连线的

斜率之积等于1，那么类比有心圆锥曲线，又可得到什么结论呢？

【探究】设离心率为e的有心圆锥曲线L的弦CD过其中心，点M是L上与C、D互异

的一动点，判断kMCkMD是否为定值？若是，求出其值；若不是，说明理由．（其中斜率

kMC,kMD存在且不为零）

生：（分组探究）

师：（请学生代表展示结果）

生：【结论】离心率为e的有心圆锥曲线L过中心的弦的两个端点与L上异于两端点的的任一点的连线的斜率之积为定值．当焦点在x轴上时，该定值为e1；当焦点在y2轴上时，该定值为1．

e21师：【衔接几何画板】验证结论，提高学生学习的兴趣，使学生印象更深刻．

【设计意图】这部分是总结出结论后，进一步进行了知识的迁移，让学生探究有心圆锥

曲线的性质。这两部分的探究，体现了新课标以“问题驱动教学”的教学理念，培养了学生“归纳推理，类比推理”的数学思想方法，也给学生在以后的小结复习中起到了示范作用．

（4）实例探究

（2011年湖北卷解析几何题）平面内与两定点A1(a,0)、A2(a,0)(a0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线．

（Ⅰ）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；

（Ⅱ）（略）

x2y21,(m0)

生：解：曲线C的方程为：22ama（1）当m1时，曲线C是圆；

m0时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆；

1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆；

（2）当1（3）当m（4）当m0时，曲线C是双曲线. x2y21,(m0)，你能写出当m0时；当1m0时；当【探究】对于方程22amam1时对应曲线的简单几何性质吗？

生：（分组探究）

师：（分别请学生代表展示结果）

生：当m0时，①

顶点坐标(a,0),(a,0)

，②焦点坐标(am1,0),(am1,0)，

③

离心率em1

，④

范围xa或xa，yR，

⑤

对称性：坐标轴轴对称，原点中心对称，⑥渐近线方程为ymx；

当1m0时，①顶点坐标(a,0),(a,0),(0,am),(0,am)，

②焦点坐标(am1,0),(am1,0)，③离心率em1，

④范围axa，amyam，⑤对称性：坐标轴轴对称，原点中心对称；

当m1时，①顶点坐标(a,0),(a,0),(0,am),(0,am)，②焦点坐标(0,am1),(0,am1)，

③离心率em1，④范围axa，amyam，⑤对称性：坐标轴轴对称，原点中心对称．

【设计意图】探究结论与高考题有机结合，既体现了探究的价值，也培养了学生接收新知识的能力。而此后的探究问题，是想让学生通过例题复习椭圆、双曲线的简单几何性质，这部分的设计既是呼应前面对椭圆、双曲线的探究，也是考虑到作为小结课，基本知识的复习是必不可少的．

（5）课堂小结

请同学们谈谈这节课学习的收获．

【设计意图】课堂小结部分，让学生代表谈谈自己通过这节课的学习有哪些收获，有利于学生抓住课堂的主体知识，提高学习效率，也培养了学生学习中的反思习惯．

二、教学反思

成功之处：一是源于教材，又高于教材。问题一选择课本上现有的问题，归纳在一起，得到统一结论。让学生感觉课本可以给我们很多信息，而我们又可以在这些信息上进一步拓展。显示了教材的重要性和指导性；二是学生自主性、探究性程度高，思维活跃。学之道在于“悟”，教之道在于“度”。这节课教师在学生复习方向上给予了恰到好处的指导，学生能做的让学生自己做，学生能说的就让学生自己说，充分体现了学生学习的自主性与探究性；三是问题主导，引人入胜。这节课围绕一个核心问题，进行探究，让学生兴趣盎然，原来这种问题，可以展开这么多，高考也考了，是不是还有一些类似的问题还可以这样拓展呢？在问题教学中，复习了圆锥曲线的基本概念、方程及性质。还让学生体会到了圆锥曲线的内在的联系与统一性。激发了学生的求知欲望。我想时间用分许的话，我们接下来，还可以让学生自己去挖掘圆锥曲线在其他方面的统一性，如定义，某些题型的统一解法；四是突出数学思想方法。问题1到结论1是归纳，问题2到结论2是类比，结论1到实例探究是演绎，让学生享受到数学思想之美。

不足之处：一是本节课的课堂引入“圆锥曲线的光学性质”与本节课的教学内容联系不大，有点“牵强附会”的感觉；二是在课堂上有些问题当学生一时回答不上来时，老师有时就自己说。记得陶维林老师说过：教师在课堂上要管住自己的嘴巴，能让学生说的自己一定不要说。我们时时要记住：不是我们在教学生知识，而是学生在自己学知识。