1.1.3 四种命题间的相互关系教学设计和教学实录

四种命题间的相互关系

【教学目标】

知识与技能：了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假． 过程与方法：多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．

情感、态度与价值观：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．

【教法指导】

重点：（1）会写四种命题并会判断命题的真假；

（2）四种命题之间的相互关系．

难点：（1）命题的否定与否命题的区别； （2）写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；

（3）分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假．

【教学过程】

☆情境引入☆

观察下列四个命题：

(1)若一个四边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形；

(2)若一个四边形是矩形，则其两对角线相等；

(3)若一个四边形两条对角线不相等，则这个四边形不是矩形；

(4)若一个四边形不是矩形，则其两对角线不相等．

问题1：上列四个命题中，命题（1）与命题（2）、（3）、（4）的条件与结论之间分别有什么关系？

☆知识点一☆

提示：命题(1)的条件是命题(2)的结论，且命题(1)的结论是命题(2)的条件；

对于命题(1)和(3)，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定；

对于命题(1)和(4)，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定．

定义１：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．

定义２：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论

1

的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．

定义３：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．

小结： (1)

交换原命题的条件和结论，所得的命题就是它的逆命题：

(2)

同时否定原命题的条件和结论，所得的命题就是它的否命题；

(3)

交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题就是它的逆否命题．

强调：原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的。

☆知识点二☆

学生通过思考、分析、比较，总结如下：

原命题：若P，则q．

逆命题：若q，则P．

否命题：若￢P，则￢q．

逆否命题：若￢q，则￢P．

（说明符号“￢”的含义：符号“￢”叫做否定符号．“￢p”表示p的否定；即不是p；非p）题型一

四种命题的概念

例1 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假. (1)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根；

解析

逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0，假命题. 否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根，假命题. 逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0，真命题.

（2）平行于同一条直线的两条直线平行．

解析 原命题：若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行．是真命题．

逆命题：若两条直线平行，则这两条直线平行于同一条直线．是真命题．

否命题：若两条直线不平行于同一条直线，则这两条直线不平行．是真命题．

逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不平行于同一条直线．是真命题.

(3)若m≤0或n≤0，则m＋n≤0；

2

解析

逆命题：若m＋n≤0，则m≤0或n≤0，真命题. 否命题：若m>0且n>0，则m＋n>0，真命题. 逆否命题：若m＋n>0，则m>0且n>0，假命题. (4)在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B. 解析

逆命题：在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b，真命题. 否命题：在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B，真命题. 逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b，真命题.

题型二

四种命题真假的判断

例2 下列命题：

①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；

②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题；

③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；

④“若ac>bc，则a>b”的逆命题. 其中是真命题的是________. 解析

①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；

②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题是“四条边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；

③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；

④“若ac>bc，则a>b”的逆命题是“若a>b，则ac>bc”，是假命题.所以真命题是①②③. 答案

①②③ 题型三

等价命题的应用

例3 证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0. 解析

证明：法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b＜0，则f(a)＋f(b)＜f(－a)＋

222222f(－b)”．

若a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a. 又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，

∴f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，

∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．

3

即原命题的逆否命题为真命题．

∴原命题为真命题．

法二：假设a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a. 又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，

∴f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)．

∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．

这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾．

因此假设不成立，故a＋b≥0. ☆跨越高分障碍☆

[典例] 将命题“当a＞0时，函数y＝ax＋b是增函数”写成“若p，则q”的形式，并写出其否命题．

解“若p，则q”的形式：若a＞0，则函数y＝ax＋b是增函数．

否命题：若a≤0，则函数y＝ax＋b不是增函数．

[易错防范] 1．“a＞0”的否定易误为“a＜0”，“增函数”的否定易误为“减函数”，这是初学者易犯的错误．

2．在写一个命题的否命题、逆否命题时，一定要搞清楚所否定的对象及其所对应的性质，如本题中，实数a可能有三种取值，分别为a＞0，a＝0，a＜0，从而a＞0的否定是a≤0.

☆应用落实体验☆

1.命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是(

) A.若a∉A，则b∉B

C.若b∈B，则a∉A

B.若a∈A，则b∉B

D.若b∉B，则a∉A

解析

命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，“∈”与“∉”互为否定形式. 2.命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是(

) A.若A∪B＝B，则A∩B＝A

B.若A∩B≠A，则A∪B≠B

C.若A∪B≠B，则A∩B≠A

D.若A∪B≠B，则A∩B＝A

解析

注意“A∩B＝A”的否定是“A∩B≠A”. 3.命题“若平面向量a，b共线，则a，b方向相同”的逆否命题是__________________________________________，它是______命题(填“真”或“假”).

4

解析 若平面向量a，b的方向不相同，则a，b不共线 假

4.给出以下命题：

①“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的否命题；

②“正多边形都相似”的逆命题；

③“若m>0，则x＋x－m＝0有实根”的逆否命题. 其中为真命题的是_____. 解析

①否命题是“若a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数”.假命题. ②逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”.假命题. ③∵Δ＝1＋4m，m>0时，Δ>0，∴x＋x－m＝0有实根，即原命题为真. ∴逆否命题为真. 5.“若sin α＝，则α＝”的逆否命题是“__________________”，逆否命题是____命题(填“真”或“假”). 解析

逆否命题是“若α≠☆课堂小结☆

1.写四种命题时，可以按下列步骤进行：

(1)找出命题的条件p和结论q；

(2)写出条件p的否定綈p和结论q的否定綈q；

(3)按照四种命题的结构写出所求命题. 2.每一个命题都由条件和结论组成，要分清条件和结论. 3.判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础. ☆课后作业☆

1.必做题：P9：习题1．１Ａ组第２、３、４题

2.选做题：B组第２、３

π1，则sin α≠”是假命题. 6222

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