正多边形的有关计算多媒体教案及点评

正多边形的有关计算 教学目的：

1、使学生学会将正多边形的边长、半径、边心距和中心角、周长、面积等有关的计算问题转化为解直角三角形的问题．

2、通过解题过程培养学生观察能力、推理能力、概括能力；

3、通过一定量的计算，培养学生正确迅速的运算能力；

教学重点： 化正多边形的有关计算为解直角三角形问题定理；正多边形计算图及其应用．

教学难点：

正确地将正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题解决、综合运用几何知识准确计算．

教学过程：

一、新课引入：

前几课我们学习了正多边形的定义、概念、性质，今天我们来学习正多边形的有关计算．

大家知道正多边形在生产和生活中有广泛的应用性，伴随而来的有关正多边形计算问题必然摆在大家的面前，如何解决正多边形的计算问题，正是本堂课研究的课题．

二、新课讲解：

1.哪位同学回答，什么叫正多边形．(各边相等，各角相等的多边形．) 2.什么是正多形的边心距、半径？(正多边形内切圆的半径叫做边心距．正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．) 3.正多边形的边有什么性质、角有什么性质？(边都相等，角都相等．) 4.什么叫正多边形的中心角？(正多边形的一边所对正多边形外接圆的圆心角．) 5.正n边形的中心角度数如何计算？

6.正n边形的一个外角度数如何计算？

7.哪位同学有所发现？(正n边形的中心角度数=正n边形的一个外角度数．)

8.哪位同学记得n边形的内角和公式？(请回忆起来的学生回答)．

9.哪位同学能根据n边形内角和定理和正n边形的性质给出求正n边形一个内角度数的公式？

10.正n边形的每个内角与它有共同顶点的外角有何数量关系？(互补)．

11.根据正n边形的每个内角与它有共同顶点的外角的互补关系和正n边形每个外角度数公式，正n边形每个内角度数又可怎样计算？

(学生思考，回答) 1．正五边形的中心角度数是______；每个内角的度数是______；

2．一个正n边形的一个外角度数是360°，则它的边数n=______，每个内角度数是______；

3．一个正n边形的一个内角的度数是140°，则它的边数n=______，中心角度数是______．

幻灯展示正三角形、正方形、正五边形、正六边形．如下图，让学生边观察、边回答老师依次提出的问题、边思考．

1．观察每个图形的半径，分别将它们分割成多少个什么样子的三角形？(等腰三角形)

2．观察每个图形中所得的三角形具有什么关系？为什么？(全等，依据(S．S．S)或(S．A．S)) 3．将上述四个图形的观察与思考推而广之，你得出了什么结论？哪位同学说说自己的想法(正n边形的n条半径分正n边形为n个全等的等腰三角形．) 套上幻灯片的复合片：作出各等腰三角形底边上的高，如下图，安排学生观察、思考并回答以下问题：

1．这些等腰三角形的每一条高都将每个等腰三角形分割为两个直角三角形，这两个直角三角形全等吗？为什么？

2．这些等腰三角形的高在正多边形中的名称是什么？(边心距) 3．正n边形的n条半径、n条边心距将正n边形分割成全等直角三角形的个数是多少？(2n个) 给出定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形．

再套幻灯片的复合片，如图，安排学生观察每个直角三角形都由正多边形的哪些元素组成．

直角三角形的斜边是正多边形的半径R、一条直角边是正多边形的边心距．另一直角边是正多边形边长的一半(为什么？)半径与边心距的夹角是正多边形一个中心角的一半．(为什么？) 讲解：由于这个直角三角形融合了正多边形诸多元素，所以就可将正多边形有关半径、边心距、边长、中心角的计算问题归结为解直角三角形的问题来解决．

幻灯给出正多边形抽象的计算图，教师讲解：

由于正多边形的有关计算都归结为解直角三角形的问题来解决，所以我们只要画出这个直角三角形就可以了，其余就不画或略画．图中R表示半径，rn表示正n边形的边心距，an表示正n边形的边长，an表示正n边形的中心角．

提问：对于给定具体边数的正n边形，你首先可以求出直角三角形中的哪些元素？

(教师讲解)：直角三角形中一锐角已知，所以只要再给直角三角形的R、rn、an其中一项赋值就可求出其它元素．例如：

例1

已知：如下图，正六边形的半径(幻灯给出例1)：已知正六边形ABCDEF的半径为R，求这个正六边形的边长a6、周长P6和面积S6．

问：要解此题，首先要做什么？(画出基本计算图) 然后要先计算什么

最后要做什么工作：(选择三角函数)

完成下列各题：(幻灯展示题目) 练习题1已知圆的半径为１０，求它的内接正三角形边长、边心距及面积。

练习题2已知正方形的周长为１６，求它的半径、边心距及面积。

(对于计算正确且较快的学生，让他们自拟试题进行计算，教师重点辅导需要帮助的学生) 再回到练习题1，问：你会求这个正三角形的周长P3吗？怎么求？为什么这样求？(边长×3，因为正三角形三边相等)．

再问：你会求这个正三角形的面积S3吗？怎么求？为什么这样求？(直角△AOC的面积×6，由定理可知这样的直角三角形的个数是边数的2倍．或者，等腰△AOB的面积×3，由定理可知选择的等腰三角形的个数与边数相同．) 三、课堂小结：

哪位同学能说一下，这堂课我们都学习了什么知识？

1．化正多边形的有关计算为解直角三角形问题定理，

2．运用正多边形计算图解题步骤

四、布置作业