反证法优秀教案案例

《反证法

》教学设计

教材：初中人教2011课标版

章节：九年级上册第二十四章《圆》选修

教学内容与内容解析：

教学内容：反证法

内容解析：反证法作为选修内容，是数学证明中一种重要方式，表现形式为逆向思维推理。理论基础是逻辑矛盾论与排中律，较为复杂，因此反证法的定义、反证法证明的具体证明过程是本科教学重难点，而反证法在数学中的具体应用也是重中之重。

教学目标与目标解析：

目标：通过实例，使学生初步掌握反证法的概念；了解反证法的基本步骤，会用反证法证明数学命题；通过具体实例，体验数学史、数学的探索性与创造性。通过情境引入，渗透学科融合与传统文化教育。

目标解析：能通过具体实例与情境引入，理解反证法是一种逆向思维推理论证；通过实例的讲解，让学生清楚认识和掌握反证法证明数学命题的三个步骤；通过具体实例，尤其是对于无限的简单讨论，意识到反证法对于数学发展历史巨大的推动作用；并通过《空城计》情境，加强中华优秀传统文化教育。

教学问题诊断分析：反证法作为教材选修内容，在教学中难度较大，原因有二：1、首先是逻辑学理论的复杂性，反证法牵涉逻辑基础为矛盾论与排中律，具体表现为逆向思维方式，在授课时的切入点非常重要；2、反证法这种证明方法，往往针对题设过于简略，无法入手的命题，或者是正针对面证明难度较大，唯有正难则反的命题，因此实例的选择和讲解都具有难度。因此：

教学重点：体会反证法证明命题的思路方法，掌握反证法证明的基本步骤。

教学难点：理解反证法的推理依据及方法，用反证法灵活证明数学命题。

课时安排：1课时

教学过程设计：

【自主尝试】

1、

社会调查

如今，人们越来越关注绿色食品与健康生活，也因此产生争论。“有虫眼的蔬菜”与“无虫眼的蔬菜”哪一个更有利于健康众说纷纭。请同学参与社会调查，完成下列表格。

赞成“有虫眼蔬菜更有利于健康”的调查表

序号

1 2 3 无虫眼的蔬菜不利于健康的理由

农药药性太强，虫子不能生存

长期喷洒农药，虫子不能生存

蔬菜不够鲜嫩，虫子不愿意吃

赞成“无虫眼蔬菜更有利于健康”的调查表

序号

1 2 3 有虫眼的蔬菜不利于健康的理由

前期抗虫工作没有做好

虫子抗药性太强，虫子不能杀死

虫子越多，则防虫农药使用更多，蔬菜农药残留更多

2、

从以上调查表格，请用简洁的语言描述这种逻辑思维的方向特征特征。

逆向思维。

3、

学科融合与渗透：

在中国优秀传统文化中，有大量反映（

逆向思维

）的经典词汇或案例。如：

（

声东击西

）、（

欲扬先抑

）、（

明修栈道，暗度陈仓

）等等。

【合作探究】

课前阅读：《三国演义》

第95回

马谡拒谏失街亭

武侯弹琴退仲达

逆向思维是一种宝贵的、创新的思维，那么逆向思维能否用于推理、论证呢？下面是四大名著之《三国演义》的一个片段，它深刻阐述了“兵者，诡道也”的深刻思想。

播放空城计片段。

下面我们把这一情节设计为一个说明题，用逆向思维的方式进行推理论证，内容为司马懿的观察倾听、心理活动、思维过程和最终决策，以司马懿为当前人称。

已知：诸葛亮平生谨慎。今日独守孤城，却四门大开①；独坐城头，饮酒抚琴，从容不迫，琴声中却有惊涛骇浪②；城内偃旗息鼓，城外山中却人马喧哗、躁动不安③。

结论：此中有诈，宜速退兵。

逻辑推理演绎：假定诸葛亮没有设置埋伏，应立即攻城。

结论：战场瞬息万变，既然形势已经不利于我，应当机立断，迅速退兵。

序诸葛亮的表现

我军采取行动

对诸葛亮和蜀军意图

作出深入分析

推演预设行动后果

号

及周围环境

①

诸葛亮困守孤城，却四门大开

攻城

诸葛亮致自己于极度危险之中，与

诸葛亮生平谨慎、绝不冒险违背

诸葛亮悠闲自得，说明他足以自保，琴声中暗藏杀心，说明他要算计我

诸葛亮必有埋伏，急攻会有危险

城内伏兵必定精锐，急攻有危险加剧

急攻会被拦腰截断、首尾不能兼顾，急攻有极度危险

②

饮酒抚琴，悠然自得，攻城

而琴声中有惊涛骇浪

③

城内偃旗息鼓，城外山中人马喧哗、躁动不安

攻城

城内偃旗息鼓，分明是想引诱我迅速入城，城外人马喧哗躁动，想必是成我入城，半路截杀

总结：

1、

利用这种逆向思维推理论证具体问题是可行的。

2、

具体内容：本意是论证“退兵是明智选择”，转化为“攻城会遭遇巨大危险”

3、

用这种逆向思维进行推理证明的核心是要证明结论成立，可转化为结论的反面不成立。

【展示交流】

这种逆向思维推理论证的方法可以用于数学问题吗？可行

1、请证明不存在最大的正数。（假设存在最大的正数是a，则构造正数a+1,而a+1>a与a最大矛盾，说明不存在最大的正数）

2、请证明不存在最小的负数。（假设存在最大的负数是a，则构造负数a-1,而a-1

回顾上题，叙述三个步骤：1、假定原命题结论不成立，得到结论的反面。2、从假设出发，进行推理得出与已知条件、定理、公理等矛盾。3、得出假设不成立，则原结论这样成立。

得到反证法。

3、例题1、求证过同一直线上三点不能作圆。

已知A、B、C三点共线，求证过A、B、C三点不能作圆。

4、试试看：用反证法证明（填空）：在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于６０°

已知：如图，

∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角

求证：

∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ中至少有一个角大于或等于６０度

证明：设所求证的结论不成立，即

∠Ａ＿＿６０°，

∠Ｂ＿＿６０°，∠Ｃ＿＿６０°

则得到（

）

这与＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿矛盾

所以假设命题＿＿＿＿＿＿，

所以，所求证的结论成立．

【巩固拓展】

5、求证：圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分. 已知：在⊙O中,弦AB、CD相交于P，且AB、CD不全是直径. 求证：AB、CD不能互相平分。

6、请证明在0到1之间存在无数个有理数。（课后完成）

小结：一个方法，三个步骤，新的思想