正多边形的有关计算教学内容

24.3

正多边形和圆

彭禄章

知识要点基础练

知识点1

正多边形的有关概念

1.若一个正多边形的一个内角是135°,则这个正多边形的中心角为

(B) A.20°

B.45°

C.60°

D.90°

2.(改编)如图,将边长为2的正六边形放入平面直角坐标系中.已知点A的坐标为(1,0),则点B的坐标为

(C)

A.(1,2) C.(-1,2

) B.(-1,2) D.(2

,-1) 知识点2

正多边形和圆的有关计算

3.若正方形的边长为6,则其外接圆的半径为

(B) A.3 B.3

C.6 D.6

4.【教材母题变式】如图,一个正多边形的半径为

,边心距为1,求该正多边形的中心角、边长、内角、周长和面积.

解:中心角为90°,边长为2,内角为90°,周长为8,面积为4.

知识点3

正多边形的画法

5.图1是我们常见的地砖上的图案,其中包含了一种特殊的平面图形——正八边形.如图2,AE是☉O的直径,用直尺和圆规作☉O的内接正八边形ABCDEFGH.(不写作法,保留作图痕迹)

略

综合能力提升练

6.一个正五边形和一个正六边形按如图方式摆放,它们都有一边在直线l上,且有一个公共顶点O,则∠AOB的度数是

(B)

A.83°

B.84°

C.85°

D.94°

7.若正三角形、正方形、正六边形的周长相等,它们的面积分别为S1,S2,S3,则下列关系成立的是

(C) A.S1=S2=S3

B.S1>S2>S3

C.S1

D.S2>S3>S1

【变式拓展】同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的面积之比为

(C)

A.1∶2∶3 B.1∶

C.3

∶8∶6

D.无法确定

8.据资料,我国古代数学家祖冲之和他的儿子发展了刘徽的“割圆术”(即圆的内接正多边形边数不断增加,它的周长就越接近圆周长),他们从圆内接正六边形算起,一直算到内接正24576边形,将圆周率精确到小数点后七位,使中国对圆周率的计算在世界上领先了一千多年.依据“割圆术”,由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是

(B) A.2.9 B.3 C.3.1 D.3.14

9.如图,△ABC和△DEF分别是☉O的外切正三角形和内接正三角形,则它们的面积比为

(A) A.4 B.2 C.

D.

10.如图,雯雯开了一家品牌手机体验店,现在体验区(图1阴影部分)摆放图2所示的正六边形桌子若干张,体验店平面图是长9米,宽7米的矩形,通道宽2米,桌子的边长为1米,摆放时要求桌子至少离墙1米,且有边与墙平行,桌子之间的距离至少为1米,则体验区最多可以摆放桌子

(A)

A.4张

C.6张

B.5张

D.7张

(C) 11.如图,P,Q分别是☉O的内接正五边形的边AB,BC上的点,BP=CQ,则∠POQ=

A.75°

B.54°

C.72°

D.60°

12.若圆内接正六边形的两条对角线长分别为m,n(m

∶2

.

13.如图,已知△ABC是等边三角形,边长为18 cm.把△ABC的三个角剪去,剩余的部分是正六边形DEGKHF,则这个正六边形的内部任意一点到各边的距离之和为

18

cm.

上(不与C点重合).

14.如图,正方形ABCD的外接圆为☉O,点P在 (1)求∠BPC的度数; (2)若☉O的半径为8,求正方形ABCD的边长.

解:(1)∠BPC=45°.

(2)正方形ABCD的边长为8

.

所对的圆周角∠APE的度数.

15.(改编)如图,☉C经过正六边形ABCDEF的顶点A,E,求

解:连接AC,EC,

∵六边形ABCDEF是正六边形,

∴∠BCD=∠B=∠D=

-

=120°,AB=BC,CD=DE,

∴∠BAC=∠BCA=

(180°-∠B)=30°,

同理∠DCE=30°,

∴∠ACE=∠BCD-∠BCA-∠DCE=60°,

∴∠APE=

∠ACE=30°.

16.如图,在正六边形ABCDEF中,对角线AE与BF相交于点M,BD与CE相交于点N.

(1)求证:AE=FB; (2)在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出所有与△ABM全等的三角形.

解:(1)∵六边形ABCDEF为正六边形,∴AF=EF=AB,∠AFE=∠FAB,

在△AFE与△BAF中,

∴△AFE≌△BAF(SAS),∴AE=FB.

(2)与△ABM全等的三角形有△DEN,△FEM,△CBN.

拓展探究突破练

17.(威海中考)如图,正方形ABCD内接于☉O,其边长为4,则☉O的内接正三角形EFG的边长为

2

.