1.2.1 充要条件教案评析

1.2 充分条件与必要条件

预习课本P9～11，思考并完成以下问题

1．什么是充分条件、必要条件？

2．什么是充要条件？

[新知初探]

1．充分条件与必要条件

命题真假

推出关系

条件关系

2．充要条件

(1)定义：若p⇒q且q⇒p，则记作p⇔q，此时p是q的充分必要条件，简称充要条件．

(2)条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若p是q的充分条件，则p是唯一的(

) (2)“若綈p，则綈q”是真命题，则p是q的必要条件(

) (3)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题(

) 答案：(1)×

(2)√

(3)√

2．已知α：“a＝±2”；β：“直线x－y＝0与圆x＋(y－a)＝2相切”，则α是β的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

1 22“若p，则q”是真命题

“若p，则q”是假命题

p⇒q p是q的充分条件

q是p的必要条件

p⇒/_q

p不是q的充分条件

q不是p的必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案：C 3．“x＝3”是“x＝9”的________条件(填“充分”或“必要”)．

答案：充分

4．“ab>0”是“a>0，b>0”的________条件(填“充分”或“必要”)．

答案：必要

充分条件、必要条件、充要条件的判断

[典例] (1)在△ABC

中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c

，则“a≤b”是

“sin 2A≤sin B”的(

) A．充要条件

C．必要不充分条件

B．充分不必要条件

D．既不充分也不必要条件

(2)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

[解析] (1)由正弦定理，得 B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

＝，故a≤b⇔sin A≤sin B，选A. sin Asin B2abx，x≥0，(2)构造函数f(x)＝x|x|，则f(x)在定义域R上为奇函数．因为f(x)＝2－x，x<0，

所以函数f(x)在R上单调递增，所以a>b⇔f(a)>f(b)⇔a|a|>b|b|.选C. [答案] (1)A (2)C

充要条件的判断方法

判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件，同时要注意反证法的运用．

[活学活用] 1．已知函数f(x)＝ax＋b(x∈[0,1])，则“a＋3b>0”是“f(x)>0恒成立”的(

) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2

1解析：选B 若f(x)>0恒成立，则取x＝，可得3f＝a＋b>0，∴a＋3b>0.反之不1133113111成立，例如取f(x)＝x－，其中a＝1，b＝－，满足a＋3b＝1－＝>0，但是f＝1×44445511－＝－<0.∴“a＋3b>0”是“f(x)>0恒成立”的必要不充分条件．

4202．指出下列各组命题中，p是q的什么条件．

(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形；

(2)p：(x－1)＋(y－2)＝0，q：(x－1)(y－2)＝0. 解：(1)∵四边形的对角线相等⇒/ 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形⇒/ 四边形的对角线相等，

∴p是q的既不充分也不必要条件．

(2)∵(x－1)＋(y－2)＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)·(y－2)＝0，而(x－1)(y－2)＝0⇒/ (x－1)＋(y－2)＝0，∴p是q的充分不必要条件. 222222充分条件与必要条件的应用

[典例] 已知p：实数x满足x－4ax＋3a<0，其中a<0；q：实数x满足x－x－6≤0.若綈p是綈q的必要条件，求实数a的取值范围．

[解] 由x－4ax＋3a<0且a<0得3a

所以p：3a

由x－x－6≤0得－2≤x≤3，

所以q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．

因为綈q⇒綈p，所以p⇒q，所以A⊆B，

3a≥－2，所以a≤3，a<0222222

22⇒－≤a<0，

32所以a的取值范围是－，0. 3[一题多变] 1．[变条件]本例中条件“a<0”改为“a>0”，若綈p是綈q的充分条件，求实数a的取值范围．

解：由x－4ax＋3a<0且a>0得a

所以p：a

由x－x－6≤0得－2≤x≤3，

所以q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．

22

3

因为綈p⇒綈q，所以q⇒p，所以B⊆A，

3a≥3，所以a≤－2，⇒a∈∅.a>0

2．[变条件]将“q：实数x满足x－x－6≤0”改为“q：实数x满足x＋3x≤0”其他条件不变，求实数a的取值范围．

解：由x－4ax＋3a<0且a<0得3a

由x＋3x≤0得－3≤x≤0，

所以q：－3≤x≤0，即集合B＝{x|－3≤x≤0}．

因为綈q⇒綈p，所以p⇒q，所以A⊆B，

3a≥－3，所以a≤0，a<022222

⇒－1≤a<0. 所以a的取值范围是[－1,0)．

充分条件与必要条件的应用技巧

(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．

(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．

充要条件的证明

[典例] 试证：一元二次方程ax＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. [证明] (1)必要性：因为方程ax＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b－4ac>0，222cx1x2＝<0(x1，x2为方程的两根)，所以ac<0. a(2)充分性：由ac<0可推得Δ＝b－4ac>0及x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，

即方程ax＋bx＋c＝0有一正根和一负根．

综上所述，一元二次方程ax＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.

充要条件的证明思路

(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在

4 2222ca

证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q⇒p，“必要性”是p⇒q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反．

(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．

[活学活用] 11已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0. xyxy1111y－x证明：(1)必要性：由<，得－<0，即<0，

xyxy又由x>y，得y－x<0，所以xy>0. (2)充分性：由xy>0及x>y，

xy11得>，即<. xyxyxy11综上所述，<的充要条件是xy>0. xy层级一

学业水平达标

1．设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选D 当数列{an}的首项a1＜0时，若q＞1，则数列{an}是递减数列；当数列{an}的首项a1＜0时，要使数列{an}为递增数列，则0＜q＜1，所以“q＞1”是“数列{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件．故选D. 2．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么(

) A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件

B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件

C．丙是甲的充要条件

D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件

解析：选A 因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．

又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙

丙，如图．

5

综上，有丙⇒甲，但甲丙，

即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．

3．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使A．a＝－b

C．a＝2b

B．a∥b

D．a∥b且|a|＝|b|

ab＝成立的充分条件是(

) |a||b|解析：选C 对于A，当a＝－b时，≠；对于B，注意当a∥b时，与可|a||b||a||b|能不相等；对于C，当a＝2b时，＝＝；对于D，当a∥b，且|a|＝|b|时，可能|a||2b||b|有a＝－b，此时≠.综上所述，使＝成立的充分条件是a＝2b.

|a||b||a||b|4．设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A φ＝0时，函数f(x)＝cos(x＋φ)＝cos x是偶函数，

而f(x)＝cos(x＋φ)是偶函数时，φ＝π＋kπ(k∈Z)．

故“φ＝0”是“函数f(x)＝cos(x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件．

5．使|x|＝x成立的一个必要不充分条件是(

) A．x≥0

C．log2(x＋1)>0 解析：选B ∵|x|＝x⇔x≥0，

∴选项A是充要条件．选项C，D均不符合题意．

对于选项B，∵由x≥－x得x(x＋1)≥0，

∴x≥0或x≤－1. 故选项B是使|x|＝x成立的必要不充分条件．

6．如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的________________条件．

解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A⇒/ B. 又因否命题为真，所以逆命题为真，即B⇒A，

所以A是B的必要不充分条件．

答案：必要不充分

7．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．

6 2ababa2bbabab B．x≥－x

D．2<1 x2

解析：p：x>1，若p是q的充分不必要条件，则p⇒q，但q合是q对应集合的真子集，所以a<1. 答案：(－∞，1) 8．下列命题：

①“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件；

p，也就是说，p对应集②b－4ac<0是一元二次不等式ax＋bx＋c<0解集为R的充要条件；

③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充分不必要条件；

④“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件．

其中真命题的序号为______________．

解析：①x>2且y>3时，x＋y>5成立，反之不一定，如x＝0，y＝6.所以“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分不必要条件；

②不等式解集为R的充要条件是a<0且b－4ac<0，故②为假命题；

222a2③当a＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则＝，∴a＝2.因此，“a＝2”是11“两直线平行”的充要条件；

④lg x＋lg y＝lg(xy)＝0，∴xy＝1且x>0，y>0. 所以“lg x＋lg y＝0”成立，xy＝1必成立，反之不然．

因此“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件．

综上可知，真命题是④. 答案：④

9．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件．

(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；

(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；

(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；

(4)p：圆x＋y＝r与直线ax＋by＋c＝0相切，q：c＝(a＋b)r. 解：(1)∵|x|＝|y|2222222x＝y，但x＝y⇒|x|＝|y|，

∴p是q的必要不充分条件．

(2)∵△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形△ABC是等腰三角形，

△ABC是直角三角形，

∴p是q的既不充分也不必要条件．

(3)∵四边形的对角线互相平分四边形是矩形，

四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分，

∴p是q的必要不充分条件．

(4)若圆x＋y＝r与直线ax＋by＋c＝0相切，则圆心到直线ax＋by＋c＝0的距离等

7 222

于r，即r＝2|c|a2＋b22，

2所以c＝(a＋b)r；

反过来，若c＝(a＋b)r，则22222222|c|a2＋b2＝r成立，

说明x＋y＝r的圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，

即圆x＋y＝r与直线ax＋by＋c＝0相切，

故p是q的充要条件．

10．已知数列{an}的前n项和Sn＝p＋q(p≠0且p≠1)，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1. 证明：(1)充分性：当q＝－1时，a1＝p－1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝p当n＝1时，上式也成立．

n－1n222(p－1)．

an＋1pnp－于是＝anpn－1p－＝p，即数列{an}为等比数列．

(2)必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝p∵p≠0且p≠1，

n－1(p－1)．

an＋1pnp－∴＝anpn－1p－＝p. 因为{an}为等比数列，

所以＝a2an＋1pp－＝p＝a1anp＋q，∴q＝－1. 即数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1. 层级二

应试能力达标

1a1b1．“0”的(

) 33A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

1a1b1a1b解析：选A 当0成立，所以是充分条件；当>时，有a

) A．0

12C.

23

B．－1

8

解析：选B 由x－x<0⇔0

) A．“x>0”是“x>1”的必要条件

B．已知向量m，n，则“m∥n”是“m＝n”的充分条件

C．“a>b”是“a>b”的必要条件

D．在△ABC中，“a>b”不是“A>B”的充分条件

解析：选A A中，当x>1时，有x>0，所以A正确；B中，当m∥n时，m＝n不一定成立，所以B不正确；C中，当a>b时，a>b不一定成立，所以C不正确；D中，当a>b时，有A>B，所以“a>b”是“A>B”的充分条件，所以D不正确．故选A. 14．设p：≤x≤1；q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a2的取值范围是(

) 444421A.0， 21C.0， 21B.0，

21 D.0，

2解析：选B ∵q：a≤x≤a＋1，p是q的充分不必要条件，

1a≤，∴2a＋1≥1，

1解得0≤a≤.故选B. 225．已知关于x的方程(1－a)x＋(a＋2)x－4＝0(a∈R)，则该方程有两个正根的充要条件是________．

1－a≠0，解析：方程(1－a)x＋(a＋2)x－4＝0有两个实根的充要条件是Δ≥0，2

a≠1，即a＋2＋－a

a≠1，⇔a≤2或a≥10.

设此时方程的两根分别为x1，x2，则方程有两个正根的充要条件是

9

a≤2或a≥10，x＋x>0，xx>01212a≠1，

2a≤2或a≥10，a＋2⇔>0，a－14a－1>022a≠1，

2⇔1

答案：(1,2]∪[10，＋∞)

6．已知“－1

解析：当方程x＋y＋kx＋3y＋k＝0表示圆时，

222k2＋3－4k2>0，解得－1

所以－1

即实数m的取值范围是(－1,1]．

答案：(－1,1] 7．已知p：x－8x－20>0，q：x－2x＋1－a>0.若p是q的充分条件，求正实数a的取值范围．

解：不等式x－8x－20>0的解集为

222A＝{x|x>10或x<－2}；

不等式x－2x＋1－a>0的解集为

22B＝{x|x>1＋a或x<1－a，a>0}．

依题意p⇒q，所以A⊆B. a>0，于是有1＋a≤10，1－a≥－2，

2解得0

所以正实数a的取值范围是(0,3]．

8．求二次函数y＝－x＋mx－1的图象与两端点为A(0,3)，B(3,0)的线段AB有两个不同的交点的充要条件．

x，

①x＋y＝解：线段AB的方程为x＋y＝3，由题意得方程组2y＝－x＋mx－1， ②2

在[0,3]上有两组实数解，将①代入②，得x－(m＋1)x＋4＝0(0≤x≤3)，此方程有两个不同的实数根，令f(x)＝x－(m＋1)x＋4，则二次函数f(x)在x∈[0,3]上有两个实根，

2

10

100，f＝9－m＋10故m的取值范围是3，. 3Δ＝m＋2－16>0，＋4≥0，

10解得3

3

(时间120分钟

满分150分) 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．命题“若x<1，则－1

) A．若x≥1，则x≥1，或x≤－1 B．若－11，或x<－1，则x>1 D．若x≥1，或x≤－1，则x≥1

解析：选D 命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”．

112．已知命题①若a>b，则<，②若－2≤x≤0，则(x＋2)(x－3)≤0，则下列说法正确22222ab的是(

) A．①的逆命题为真

B．②的逆命题为真

C．①的逆否命题为真

D．②的逆否命题为真

11解析：选D ①的逆命题为<则，a>b，若a＝－2，b＝3，则不成立．故A错；②的逆ab命题为若(x＋2)(x－3)≤0，则－2≤x≤0是假命题，故B错；①为假命题，其逆否命题也为假命题，故C错；②为真命题，其逆否命题也为真命题，D正确．

3．设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，那么“x∈M，或x∈P”是“x∈M∩P”的(

) A．必要不充分条件

B．充分不必要条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A “x∈M，或x∈P”不能推出“x∈M∩P”，反之可以．

4．设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真

11

假情况是(

) A．原命题真，逆命题假

B．原命题假，逆命题真

C．原命题与逆命题均为真命题

D．原命题与逆命题均为假命题

解析：选A 因为原命题“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆否命题为，“若a，b都小于1，则a＋b<2”显然为真，所以原命题为真；原命题“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题为：“若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”，是假命题，反例为a＝1.2，b＝0.3，则a＋b＝1.5<2. 5．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A 要区分向量平行与向量相等，相反向量等基本概念，向量平行不一定向量相等，向量相等或相反必平行．

6．下列命题中，真命题是(

) A．命题“若|a|>b，则a>b”

B．命题“若“a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题

C．命题“当x＝2时，x－5x＋6＝0”的否命题

D．命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”

解析：选D 原命题可以改写成“若角的终边相同，则它们的同名三角函数值相等”，是真命题，故选D. 7．“a<0”是“方程ax＋1＝0至少有一个负根”的(

) A．必要不充分条件

B．充分不必要条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

122解析：选C 方程ax＋1＝0至少有一个负根等价于x＝－，故a<0，故选C. 22a8．f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)＝f(x)＋g(x)，“f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的(

) A．充要条件

B．充分不必要条件

12

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选B 若f(x)，g(x)均为偶函数，则h(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝f(x)＋g(x)＝h(x)，所以h(x)为偶函数；若h(x)为偶函数，则f(x)，g(x)不一定均为偶函数．可举反例说明，如f(x)＝x，g(x)＝x－x＋2，则h(x)＝f(x)＋g(x)＝x＋2为偶函数．

二、填空题(本大题共7小题，多空题每空3分，单空题每题4分，共36分) 9．命题“若a∉A，则b∈B”的逆否命题是________．

解析：逆否命题既否定其条件又否定其结论，然后交换其顺序．

答案：若b∉B，则a∈A

1110．在△ABC中，“A>30°”是sin A>的____________条件，“sin A>”是“A>30°”22的____________条件．

11解析：A>30°不一定推出sin A>，但在△ABC中，sin A>⇒30°30°.

22答案：必要不充分

充分不必要

11．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．它的逆命题、否命题、逆否命题中是真命题的为________，假命题的为________．

解析：逆命题和否命题是假命题，逆否命题为真命题．

答案：逆否命题

逆命题、否命题

12．有下列命题：

①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；

②“矩形的对角线相等”的否命题；

③“若m≥1，则mx－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；

④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．

其中真命题是________，假命题是________．(填序号) 解析：①的逆命题为“若x>0且y>0，则x＋y>0”为真，故否命题为真；

②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题；

③的逆命题为若“mx－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集为R，则m≥1”．

∵当m＝0时，解集不是R，

m>0，∴应有Δ<0，2222

即m>1. ∴③是假命题；

④原命题为真，逆否命题也为真．

答案：①④

②③

13

13．已知α、β是不同的两个平面，直线a⊂α，直线b⊂β，命题p：a与b无公共点；命题q：α∥β，则p是q的__________条件，q是p的____________条件．

解析：∵q⇒p，p⇒/ q，∴p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件．

答案：必要不充分

充分不必要

14．命题“ax－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．

a<0解析：ax－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，2Δ＝4a＋12a≤022

得－3≤a<0，∴－3≤a≤0.

答案：[－3,0] 15．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的取值范围是________．

解析：由x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}，

得x<1或x≥2.

∵此命题是假命题，

∴1≤x<2. 答案：[1,2) 三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分14分)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．

(1)能被6整除的数一定是偶数；

(2)当a－1＋|b＋2|＝0时，a＝1，b＝－2；

(3)已知x，y为正整数，当y＝x时，y＝1，x＝1. 解：(1)若一个数能被6整除，则这个数为偶数，是真命题．

(2)若a－1＋|b＋2|＝0，则a＝1且b＝－2，真命题．

(3)已知x，y为正整数，若y＝x，则y＝1且x＝1，假命题．

17．(本小题满分15分)分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假．

(1)矩形的对角线相等且互相平分；

(2)正偶数不是质数．

解：(1)逆命题：若一个四边形的对角线相等且互相平分，则它是矩形(真命题)．

否命题：若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等或不互相平分(真命题)．

逆否命题：若一个四边形的对角线不相等或不互相平分，则它不是矩形(真命题)．

(2)逆命题：如果一个正数不是质数，那么这个正数是正偶数(假命题)．

否命题：如果一个正数不是偶数，那么这个数是质数(假命题)．

逆否命题：如果一个正数是质数，那么这个数不是偶数(假命题)．

14 22

18．(本小题满分15分)已知命题：“所有x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x－x－m<0成立”是真命题．

(1)求实数m的取值集合B；

(2)设不等式(x－3a)(x－a－2)<0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

解：(1)命题：“所有x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x－x－m<0成立”是真命题，得22x2－x－m<0在－1≤x≤1时恒成立，

∴m>(x－x)max，得m>2，即B＝{m|m>2}．

(2)不等式(x－3a)(x－a－2)<0，

①当3a>2＋a，即a>1时，解集A＝{x|2＋a

∴2＋a≥2，此时a∈(1，＋∞)；

②当3a＝2＋a，即a＝1时，解集A＝∅，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则AB成立；

③当3a<2＋a，即a<1时，解集A＝{x|3a

2∴3a≥2，此时a∈，1. 3

2综上①②③可得a∈，＋∞.

3222219．(本小题满分15分)设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x＋2ax＋b＝0与x＋2cx－b＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.

证明：充分性：因为∠A＝90°，

所以a＝b＋c. 于是方程x＋2ax＋b＝0可化为x＋2ax＋a－c＝0，

所以x＋2ax＋(a＋c)(a－c)＝0. 所以[x＋(a＋c)][x＋(a－c)]＝0. 所以该方程有两根x1＝－(a＋c)，x2＝－(a－c)，

2222222222同样另一方程x＋2cx－b＝0也可化为x＋2cx－(a－c)＝0，即[x＋(c＋a)][x＋(c－a)]＝0，

所以该方程有两根x3＝－(a＋c)，x4＝－(c－a)．

可以发现，x1＝x3，

所以方程有公共根．

必要性：设x是方程的公共根，

22222

15

x＋2ax＋b＝0，①则22x＋2cx－b＝0.②22

由①＋②，得x＝－(a＋c)，x＝0(舍去)．

代入①并整理，可得a＝b＋c. 所以∠A＝90°.

所以结论成立．

20．(本小题满分15分)给出两个命题：

命题甲：关于x的不等式x＋(a－1)x＋a≤0的解集为∅，命题乙：函数y＝(2a－a)为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的范围．

(1)甲、乙至少有一个是真命题；

(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．

解：甲命题为真时，Δ＝(a－1)－4a<0，

1即a>或a<－1. 3乙命题为真时，2a－a>1，

1即a>1或a<－. 2(1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集，

11∴实数a的取值范围为aa<－或a>. 23(2)甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：

1甲真乙假时，

31甲假乙真时，－1≤a<－，

2∴甲、乙中有且只有一个是真命题时，

11实数a的取值范围为a

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