3.1.2 导数的概念教案和课堂实录

《导数的概念》

1．

教学目标：

知识与技能：通过具体实例，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的逼近过程，明确瞬时变化率即导数，从而形成导数概念．

过程与方法：⑴借助高台跳水问题，明确瞬时速度的含义；

⑵通过对瞬时速度的逼近过程，结合平均变化率，使学生认识到瞬时变化率的重大意义；

⑶结合其他实例，抽象出导数概念，使学生认识到导数就是瞬时变化率，了解导数的内涵．

情感、态度、价值观：通过运动的观点展现导数的内涵，使学生认识到“瞬时与永恒”的辨证关系，从而激发学生学习的兴趣．

2．

教学重、难点：

重点：利用平均变化率的逼近瞬时变化率的过程及其理解；

难点：导数概念的形成，导数内涵的理解．

3．

学法与教学用具：

教学方法：教师引导为主，学生自主探索、积极思考为辅；

教学手段：黑板和多媒体相结合，利用几何画板等数学工具演示逼近过程；

教学思想：以建构主义的“创设问题情境——提出数学问题——尝试解决问题——验证解题方法”为主，强调数学知识（导数概念）的建构过程；

教学用具：乒乓球（两枚）、几何画板课件、实物投影等．

4．

教学设想：

教学基本情境

设计意图与评述

师生活动

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1．

激趣激疑，引出课题

情境一：教师手执两枚乒乓球，一枚拿稳、一枚抛动

提问：两枚乒乓球是否相同？它们有何区别？

回答：一枚是静止的，一枚是运动的

T：但古希腊的大哲学家芝诺却不这么认为，他认为两枚乒乓球是一样的，因为在某个瞬间给它们拍照，它们的状态是一模一样的（在0时间里，位移为0）．

现代物理学告诉我们，这两枚乒乓球不一样，因为一个的瞬时速度为0，一个不为0．

那怎样求一个物体的瞬时速度呢？

2．

引例分析，思想奠基

引例1：在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t) =－4.9t 2＋6.5t＋10．计算运动员在0t65这段时间里的平均速度．

49解答：平均速度为0．

点评：平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，为了能更精确地刻画物体运动，我们有必要研究某个时刻的速度即瞬时速度．

问题一：请大家思考如何求运动员的瞬时速度，如t=2时刻的瞬时速度？

回答：利用平均速度逼近瞬时速度

问题二：怎样利用平均速度逼近瞬时速度？

回顾点拨：利用有理指数幂逼近无理指数幂，利用“二分法”逼近函数零点．

vh(2t)h(2)

t

3．

师生合作，共同探究

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利用芝诺“飞矢不动”悖论，吸引眼球，激发学生学习兴趣，并提出瞬时速度问题．

通过具体问题，引导学生利用平均速度逼近瞬时速度．

回顾无理指数幂及“二分法”中的逼近，引导学生自主探究，逼近瞬时速度．

组织学生分组

教师结合数学史实提出问题，引出课题．

教师引导学生回顾必修1中的两个逼近案例．

学生分小

计算、填写速度逼近表格，感受平均速度逼近瞬时速度的过程．

问题三：当Δt趋于0时，平均速度有怎样的

好一个两边夹变化趋势？

逼！

Δt

Δt

v

v

-0.1 -12.61

0.1 -13.59

-0.01 -13.051

0.01 -13.149

-0.001 -13.0951

0.001 -13.1049

-0.0001 -13009951

0.0001 -13.10049

-0.00001 -13.099951

0.00001 -13.100049

生甲（口答）：完成表格左边数据

生乙（口答）：完成表格右边数据

生丙：（观察并口答）在t=2时刻,Δt趋于0时，

平均速度趋于一个确定的值-13.1，即瞬时速度

h(2t)h(2)lim13.1．

t0巩固逼近的思t想方法，为后面

的推广埋下伏练习：求在t=1及1.5时刻，运动员的瞬笔！

时速度．

h(1t)h(1)3.3；

解：v1limt0

t

为瞬时变化率h(1.5t)h(1.5)v2lim8.2．

t0打下基础！

t

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情境二：小组活动，计算平均速度

t

t

v

v

-0.1

0.1

-0.01

0.01

-0.001

0.001

-0.0001

0.0001

-0.00001

0.00001

……

……

……

……

组计算，教师适当引进激励机制，让学生又快又准计算平均速度并发现数据特征．

学生练习，教师纠错．

问题四：运动员在某个时刻t0的瞬时速度如何表示呢？

回答：limh(t0t)h(t0)．

t0t

4．

问题拓展，深化概念

T：由上节课我们知道，速度是位移的变化率，那么瞬时速度就是位移的瞬时变化率，你能求出一般情况下的瞬时变化率吗？

引例2：气球体积V（单位：L）与半径r（单位：dm）之间的函数关系是

r(V)33V

4当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率为

r(V1)r(V2)

V1V2你能写出气球在体积V0时的瞬时膨胀率吗？

回答：limr(V0V)r(V0)．

v0V一般地，函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是

f(x0x)f(x0)flim

x0x0xxlim我们称之为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或yxx0，即

速度是位移关于时间的变化率！

从瞬时速度向瞬时变化率过渡！

从特殊到一般，提出导数概念！

承前起后，指出芝诺悖论的根源在于无法理解“瞬时与永恒”之间的辨证关系，升华学生的认识，并继续

类比、推广！

学生接受导数符号，了解极限符号的意义！

教师不失时机的进行数学文化渗透！

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f(xx)f(x0)f(x0)lim0．

x0xT：导数就是瞬时变化率，瞬时变化率是平均变化率的逼近．古希腊大哲学家芝诺无法理解这种逼近，他只知道瞬间可以堆积成永恒，殊不知永恒也可以通过逼近来表现瞬间，这就是唯物辨证论；人类用了几千年，直到17世纪的工业革命，人们才逐渐认识到这种逼近．一旦认识到这种逼近，我们才定义了导数的概念——导数是研究变化的一种强有力的工具！

5．

例题分析，练习巩固

例1：将原油精炼为汽油、柴油、塑料等不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果在第x h时候，原油温度（单位：c）为

f(x)x27x15(0x8)．

计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义．

解答：f(2)3，f(6)5；

它说明在第2h附近，原油温度大约以3℃/h的速率下降；在第6h附近，原油问答大约以5℃/h的速率上升．

练习：计算第3h和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义．

解答：f(3)1,f(5)3，意义同上．

点评：导数即瞬时变化率，可刻画物体变化的快慢．

6．

课堂小结，布置作业

1°平均速度逼近瞬时速度

2°瞬时变化率即导数的概念

激发学习兴趣！

巩固导数概念！

导数的概念及其符号表示！

作业体现层次性和选择性！

学生练习！

学生小结本节课所学内容！

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3°公式：f(x0)limf(x0x)f(x0)

x0x

课后练习：已知一个物体运动的位移（m）与时间t（s）满足关系S（t）＝-2t2+5t ⑴求物体第5秒和第6秒的瞬时速度

⑵求物体在t时刻的瞬时速度

⑶求物体t时刻运动的加速度，并判断物体作什么运动？

作业（必做）：P10，3、4 作业（选做）：P11，A组，5；P11，B组，1

7．

板书设计

§1.1.2导数的概念

电脑投影屏幕

一、引例1

二、逼近思想（无理指数幂与“二分法”）

列表（实物投影）

例1

课后练习

三、导数的概念

作业：

四、归纳小结

8．

评价设计

本节课的教学安排是按照建构主义展开的，笔者力求让导数概念的生成符合螺旋上升特征！这尤其体现在本节课的例习题安排上，可以说适时的例习题演练是对学生学习情况最好反馈和评价．

引例1的前三个问题，一环扣一环，力求让学生理解瞬时速度、理解逼近过程；问题三后的练习就是针对这种学习情况的评价，教师以此检阅学生对逼近过程的理解程度，要求学生至少在形式上知道这种逼近方法（实质是取极限）．

引例2是对引例1的推广，也就是将瞬时速度推广到瞬时变化率，这是本节课的第二次思维提升；例1及后面的练习则是在给出导数概念后，进一步巩固所学知识．

课后练习是对本节课的又一次小结，教师通过习题揭示导数的内涵；必做的作业是对导数概念的基本要求，选做的作业则提出更高的要求，为后面的几何意义及进一步推广埋下伏笔！

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5．

课后反思：

从旧教材上看，导数概念学习的起点是极限，即从数列的极限，到函数的极限，再到导数。这种概念建立方式具有严密的逻辑性和系统性，但学生很难理解极限的形式化定义，因此也影响了对导数本质的理解。

新教材不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是用直观形象的逼近方法定义导数。通过列表计算、直观地把握函数变化趋势（蕴涵着极限的描述性定义），学生更易于理解。

这堂课由平均速度到瞬时速度再到导数，展示了一个完整的数学探究过程。提出问题、计算观察、发现规律、给出定义，让学生经历了知识再发现的过程，促进了个性化学习。

在教学中尝试采用创设问题情景，以问题驱动、层层铺垫，帮助学生实现从被动接受知识变为主动获取知识；同时也试图改进学生的学习方式，以小组合作的方式展开，在合作中相互配合。灵活融合引导启发、数形结合、激励评价、多媒体辅助等教学方式，更好地实现教学目标。

在教学过程中，不失时机的进行数学文化渗透，除了能激发学生的学习兴趣、增强学习信心外，更是体现出了数学探索原貌，让学生看到数学探索的艰难和有趣，更客观的认识导数及发明导数的现实意义，这对接受和理解导数这个概念大有裨益！

本节课内容较多，一课时难以完成，教师可以根据教学实际删减该课例中的某些环节，比如后面的例1及练习题等！

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