3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则板书设计

3.2.2

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

学习目标

1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.

知识点一

和、差的导数

1已知f(x)＝x，g(x)＝. x思考1

f(x)，g(x)的导数分别是什么？

11思考2

试求Q(x)＝x＋，H(x)＝x－的导数. xx

思考3

Q(x)，H(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？

梳理

和、差的导数

[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x). 知识点二

积、商的导数

已知f(x)＝x2，g(x)＝sin x，φ(x)＝3. 思考1

试求f′(x)，g′(x)，φ′(x). 思考2

求H(x)＝x2sin x，M(x)＝

梳理

(1)积的导数

①[f(x)g(x)]′＝__________________________________. ②[cf(x)]′＝________. (2)商的导数

fx[]′＝_______________________________________________(g(x)≠0). gxf′xfx(3)注意[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x)，[]′≠. gxg′xsin x，Q(x)＝3sin x的导数. x2

类型一

导数运算法则的应用

例1

求下列函数的导数. 1(1)f(x)＝ax3＋bx2＋c；(2)f(x)＝xln x＋2x；

3x－1(3)f(x)＝；(4)f(x)＝x2·ex. x＋1

反思与感悟

(1)解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分. (2)对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变换)，然后求导.这样可以减少运算量，优化解题过程. (3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导. 跟踪训练1

求下列函数的导数. 2x3－3x＋x＋1(1)y＝；

xx(3)y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)；

类型二

导数运算法则的综合应用

命题角度1

利用导数求函数解析式

ln x例2

(1)已知函数f(x)＝＋2xf′(1)，试比较f(e)与f(1)的大小关系. x(2)设f(x)＝(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x，试确定常数a，b，c，d，使得f′(x)＝xcos x.

x2＋1(2)y＝2；

x＋32(4)y＝xsin x－. cos x

反思与感悟

(1)中确定函数f(x)的解析式，需要求出f′(1)，注意f′(1)是常数.(2)中利用待定系数法可确定a，b，c，d的值.完成(1)(2)问的前提是熟练应用导数的运算法则. 跟踪训练2

已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2exf′(1)＋3ln x，则f′(1)等于(

) 23A.－3

B.2e

C.

D.

1－2e1－2e命题角度2

与切线有关的问题

例3

已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8. (1)求a，b的值；

(2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程.

反思与感悟

(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系. (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确. (3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点. 跟踪训练3

(1)设曲线y＝________. (2)设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为________. 2－cos xπ在点(，2)处的切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，则a＝sin x2

1.设y＝－2exsin x，则y′等于(

) A.－2excos x

C.2exsin x

B.－2exsin x

D.－2ex(sin x＋cos x)

ex2k2.对于函数f(x)＝2＋ln x－，若f′(1)＝1，则k等于(

) xxeeeeA.

B.

C.－

D.－

2323x＋13.设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于(

) x－111A.2

B.

C.－

D.－2 22b4.在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点xP处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是______. 5.曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1,1)处的切线方程为________.

求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数.在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式.对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.

答案精析

问题导学

知识点一

1思考1

f′(x)＝1，g′(x)＝－2. x－Δx11思考2

∵Δy＝(x＋Δx)＋－(x＋)＝Δx＋，

xx＋Δxxx＋ΔxΔy1∴＝1－. Δxxx＋Δx∴Q′(x)＝lim

→Δx0Δy11＝lim[1－]＝1－. ΔxΔx→0x2xx＋Δx1同理，H′(x)＝1＋2. x思考3

Q(x)的导数等于f(x)，g(x)导数的和．H(x)的导数等于f(x)，g(x)导数的差．

知识点二

思考1

f′(x)＝2x，g′(x)＝cos x，

φ′(x)＝0. 思考2

H′(x)＝2xsin x＋x2cos x，

sin x′x2－sin xx2′M′(x)＝

x22x2cos x－2xsin xxcos x－2sin x＝＝，

x4x3Q′(x)＝3cos x. 梳理

(1)①f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)

②cf′(x) f′xgx－fxg′x(2)

[gx]2题型探究

1例1

解

(1)f′(x)＝(ax3＋bx2＋c)′

31＝(ax3)′＋(bx2)′＋c′＝ax2＋2bx. 3(2)f′(x)＝(xln x＋2x)′＝(xln x)′＋(2x)′

＝x′ln x＋x(ln x)′＋2xln 2＝ln x＋1＋2xln 2. x－1(3)方法一

f′(x)＝()′

x＋1

x－1′x＋1－x－1x＋1′＝

x＋12x＋1－x－12＝＝. 2x＋1x＋12x－1x＋1－2方法二

∵f(x)＝＝

x＋1x＋12＝1－，

x＋122∴f′(x)＝(1－)′＝(－)′

x＋1x＋10－2x＋1′2＝－＝. 2x＋1x＋12(4)f′(x)＝(x2ex)′

＝(x2)′·ex＋x2·(ex)′

＝2x·ex＋x2·ex＝ex·(2x＋x2)．

跟踪训练1

解

(1)12y＝2x3x3212x1x

325323∴y＝3xx3x2x2

22x2＋1′x2＋3－x2＋1x2＋3′

(2)方法一

y′＝

x2＋322xx2＋3－2xx2＋14x＝＝2. 22x＋3x＋32x2＋1x2＋3－2方法二

y＝2＝2

x＋3x＋32＝1－2，

x＋3－22y′＝(1－2)′＝(2)′

x＋3x＋3－2′x2＋3－－2x2＋3′＝

x2＋32＝4x. x＋322(3)方法一

y′＝[(x＋1)(x＋3)]′(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)(x＋5)′＝[(x＋1)′(x＋3)＋(x＋1)(x＋3)′](x＋5)＋(x＋1)·(x＋3)＝(2x＋4)(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋18x＋23. 方法二

∵y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5) ＝(x2＋4x＋3)(x＋5) ＝x3＋9x2＋23x＋15，

∴y′＝(x3＋9x2＋23x＋15)′＝3x2＋18x＋23.

2(4)y′＝(xsin x)′－()′

cos x2′cos x－2cos x′＝x′sin x＋x(sin x)′－

cos x22sin x＝sin x＋xcos x－2. cosx例2

解

(1)由题意得f′(x)＝1－ln x＋2f′(1)，

x21－ln 1令x＝1，得f′(1)＝＋2f′(1)，

1即f′(1)＝－1. ln x所以f(x)＝－2x，

xln e1得f(e)＝－2e＝－2e，

eef(1)＝－2，

1由f(e)－f(1)＝－2e＋2<0，

e得f(e)

(2)由已知f′(x)＝[(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x]′

＝[(ax＋b)sin x]′＋[(cx＋d)cos x]′

＝(ax＋b)′sin x＋(ax＋b)(sin x)′＋(cx＋d)′cos x＋(cx＋d)(cos x)′

＝asin x＋(ax＋b)cos x＋ccos x－(cx＋d)sin x

＝(a－cx－d)sin x＋(ax＋b＋c)cos x. 又∵f′(x)＝xcos x，

a－d＝0，－c＝0，即a＝1，b＋c＝0，a－d－cx＝0，∴ax＋b＋c＝x，

解得a＝d＝1，b＝c＝0. 跟踪训练2

D 例3

解

(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，

所以f′(x)＝2ax＋b，

又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8. (2)由(1)可知g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3，

所以g′(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8，

所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7，

又g(0)＝3，

所以g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，

即7x＋y－3＝0. 跟踪训练3

(1)1

(2)4 sin2x－2－cos xcos x解析

(1)y′＝

sin2x1－2cos x＝，

sin2xπ1－2cos 2π当x＝时，y′＝＝1，

22πsin21直线x＋ay＋1＝0的斜率是－，

a1由题意－＝－1，所以a＝1. a(2)因为曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，由导数的几何意义知g′(1)＝2，又因为f(x)＝g(x)＋x2，所以f′(x)＝g′(x)＋2x⇒f′(1)＝g′(1)＋2＝4，所以y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为4. 当堂训练

1．D

2.A

3.D 4．－3

5.4x－y－3＝0