3.1.2 导数的概念第一课时教学设计

3.1.2 导数的概念

教学目标

1.知识与技能

通过大量的实例的分析，让学生经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数．

2．过程与方法

通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法．

3．情感、态度与价值观

学生在从平均变化率到瞬时变化率的探索过程中，通过动手算、动脑思和集体合作讨论，发展思维能力，树立敢于战胜困难的信息，养成主动获取知识和敢于探索求知的习惯，激发求知欲，增强合作交流意识．

重点、难点

重点：了解导数概念的形成，理解导数有内涵．

难点：在平均变化率的基础上探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵．

通过列举大量实例增强学生对导数概念形成的理解，以化解重点；通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点．

教学建议

学生对平均变化率已有了很好的认识，同时在物理课程中已学习过瞬时速度，因此，学生已经具备了一定的认知基础，于是，在教学设计中，宜采用相互讨论、探究规律和引导发现的教学方法，本着为学生发展的原则，通过师生互动、共同探索，形成概念，并学以致用．在学生的认知基础上，为了让学生明确导数就是瞬时变化率，函数f(x)在x＝x0处的导数反映了函数f(x)在x＝x0处附近变化的快慢，从而更好地理解导数的概念．在学法指导上，应回避了学生较难理解的极限思想，而是通过让学生体验逼近的思想，让他们通过自主探究，发现导数的内涵．使学生在学习过程中探究能力，分析问题、解决问题的能力都得到了不同程教学过程

教学环节

【回顾1】

学生相互交流探讨瞬针对新概念创设相应的学生熟悉内

容

师生活动

设计意图

复

习

引

当运动员从10米高台跳水时，从腾空到进入水面的时速度和和过程中，不同时刻的速度是不同的.假设t秒后运动员相对地面的高度为：H(t)4.9t26.5t10，问在2秒时切线的斜率两个具体问题，解决方法上有什么共同之处.

的问题情景，让学生从概念的现实原型，体验、感受直观背景和概念间的关系，为学生主动建构新知提供自然的生长点.

入

运动员的瞬时速度为多少？

提

出

问

题

【回顾2】

已知曲线C是函数f(x)4.9x26.5x10的图象,求曲线上点P(x0,y0)处的切线斜率. 【思考】对瞬时速度和和切线的斜率两个具体问题，解决方法上有什么共同之处？

类

比

探

索

形

成

一般情) 形

具体例子

曲线

y=f(x) 研究

对象

物体求解问题

求解方法

①归纳共性

揭示本质

本质

思想

平均运动规律

H=h(t) 曲线上P(x0,y0)

点处切线的斜率

函数

函数在xx0

y=f(x处的变化率

？

？

？

？

？

？

求横坐标

求纵坐标

求割线的

求切线的斜率

割线斜率

极限

物体在t0时

的瞬时速度

求时间

求位移

求平均

求瞬时速度

速度

极限

的极限

思想

h

增量t

增量h

速度tvlimh

t0ty

增量x

增量y

斜率xy的极思想

klim

x0x限

【师生活动】将学生分成若干学习小组，以表格为载体为师生、生生互动搭起积极交流的

概

念

探究平台.教师巡视，鼓励学生参与，对个别学有困难的小组加以指导.探究后，共同归纳得出：两个问题的解决在方法、本质、思想上都有相同之处.一个是“位移改变量与时间改变量之比”的极限，一个是“纵坐标改变量与横坐标改变量之比”的极限.如果舍去它们的具体含义，都可以概括为求平均变化率的极限. 【设计意图】给学生创设探究的平台，分析瞬时速度和切线的斜率两个具体问题，讨论解决这两个问题的方法、本质、思想上有什么共同之处，引导学生分析、观察、归纳，打通揭示事物本质的思维通道. 教学环节

类

比

探

索

形

成

概

念

内

容

师生活动

设计意图

②类比迁移

形成概念

【思考】考虑求一般函数y=f(x) 在点x0到引导学生利用求瞬时速度的方法和思想类比探究，猜想得出函数在点x0处的变化率lim=lim用具体到抽象，特y殊到一般的

x0x思维方式，x0+x之间的平均变化率的极限问题，也就是怎样计算函数在点x0处的变化率？

引出导数定义后，回归问题情景，反思概念的“原型”解释“切线的斜率”、“物体的瞬时速度”的本质.

x0f(x0x)f(x0),并对利用瞬时速x度进行类比迁移，自然引出函数在一点处可导和导数的概念.

由具体到抽象再回到具体的过程，感知上升到了理性，强化了对概念的理猜想的合理性进行分析后，引出

定义1：（函数在一点处可导及其导数）

解.

类

比

探

索

形

成

概

念

【探讨1】

怎样判断函数在一点是否可导？

判断函数yf(x)在点x0处是否可导

转化

③剖析概念

加深理解

组织学生阅读“导数”定义，抓住定义中的关键词“可导”与“导数”交流探讨，然后通过师生互动挖掘这些概念之间的深层含义.

引导学生以数学语言（文字语言、符号语言

、图形语言）的理解、把握、运用为切入点去揭示概念的内涵与外延，提高学生数学阅读和自主学习的能力.

让学生感受数学文化的熏陶，了解导数的文化价值、科学价值和应用价值. 判断极限f(x0x)f(x0)lim

是否存在

x0x

【探讨2】导数是什么？

描述角度

文字语言

符号语言

图形语言

本

质

瞬时变化率

x0

分析导数的本质后，同时简单提及导数产生的时代背景.

limy

x（切线斜率）

教学环

节

【探讨3】求导数的方法是什么？

让学生类比瞬时速度的问题，根据导数定义归纳出求用定义法求导数是本课的重点之一.内

容

师生活动

设计意图

类

比

探

索

形

成

概

念

【例1】

求函数y=x2+2x在点x=2处的导数.

解：（1）求增量△y=f（2+△x）-f（2）

=（2+△x）2+ 2（2+△x）-（22+2×2）

=（△x）2+6△x，

（2）求平均变化率：函数yf(x)在点x0处导数的方法步骤：

（1）求函数的增量；

（2）求平均变化率；

（3）取极限，得导数.

学生动手解答，老师强调符号语言的规范使用，对诸如，

有了可导这个逻辑基础，导数成为可导的自然结果，求导数的方法则是对导数概念的理解与应用.让学生积极主动参与，进行有意义的建构，有利于重点知识的掌握.

本题是教材上的一道例题.在学生建立起导数概念，明确用定义求导数的方法之后,进行强化训练, 渗透算法思想，加深(x)忘写括号的现象加以纠正. 2（3）取极限6 ∴f′（2）=6或

引

（△x+6）=

对导数概念的理解，强化对重点知识的巩固.

利用例1继续设问，函数在x1处可导，那么x-1，x2，x3这些点也可导吗？从而引申拓展出定义2：师生互动，共同探讨归纳函数在开区间(a,b)的每一通过层层展开的探讨，激活学生知识思维的“最近发展

申

拓

展

发

展

概

念

（函数在开区间(a,b)内可导）

【探讨1】函数在开区间内可导，那么对于每一个确定的值,都有唯一确定的导数值与之相对应，这样在开区间内存在一个映射吗？

【探讨2】存在的这个映射是否构成一个新的函数呢？若能，新函数的定义域和对应法则分别是什么呢？

点可导，每一点就有确定的唯一的导数.这样在开区间区”，引导学生主动将新问题与原认知结构(a,b)内构成一个特殊的映中函数的相关知识相射，这里的映射是数集到数集的映射，就是函数，我们把这个新函数叫做f(x)在开区间联系，自然引入导函数概念，从而完成从函数在一点可导函数在开区间内可导(a,b)内的导函数。它的定义域是

函数在开区间内的导函数的两次拓展.

教学环

节

引

探讨后引出定义3：（函数式？

【探讨3】怎样求新函数的解析开区间(a,b)，对应法则是对开区间内每一点求导.运用函数思想，只要把求一点处的导数x0替换成x，就可以求出导函数的解析式.

内

容

师生活动

设计意图

yf(x)在开区间(a,b)内的导函数）

申

拓

展

发

展

概

念

【例2】已知y=解：

1x

，求（1）y′;（2）y′|x=2. 分学习小组让学生动脑思考，动手“操作”，相互交流。书面总结出两小问的区别与联系，选出代表作品用投影仪全班交流.完善

后，屏幕显示形成共识：

本例共两个小问，第(1)小问是教材上的一道例题, 第(2)小问是补充题.两问都是求导数，但它们有本质上的区别！学生容易产生混淆.通过此题让学生辨清“函数f(x)在一点（2）y′|x=22

8

【区别】

（1）函数f(x)在点x0处的导数，是在点x0处处的导数”、“函数f(x)在的变化率，是一个常数；

（2）函数f(x)的导数是对开区间内任意点x而言，是f(x)在开区间内任意点x的变化率，是一个函数.

【联系】一般而言，开区间内的导数”与“导数”三者的关系.

yf(x)在x0处的导数就是导函数f(x)在x=x0处的函数值，表示为y|xx0，这也是求f/(x0)的一种方法.

小

结

整

理

yf(x)在开区间(a,b)内的导数

yf(x)在x0处可导及其导数

①知识层面

：

yf(x)在开区间(a,b)内可导

引导学生从知识、方法、思想和应用四个层面进行小结，理清知识结构，提炼数学方法和领悟数学

形

成

系

统

4．板书设计

②方法层面：用定义求导数的三个步骤

③思想层面：极限思想、函数思想、类比思想、转化思想

④应用层面：举出生活中与导数有关的实例（涉及变化率问题的问题可以考虑用导数解决）. 思想，培养应用意识.

板书设计：

导数的概念（第三课时）

例1．。。。。。。。

定义1 函数在点x可导及导数

例2.。。。。。。。。。。

定义2 函数在开区间内可导

课堂练习

电子屏幕

定义3 函数在开区间内的导函数

课堂小结

辨析：

f ′(x0) 与

f ′(x)

布置作业

度的提升．

导数