3.1.3 导数的几何意义优秀教学设计

廉江市第二中学高二数学组

教学课题

选修1-1第三章3.1.3导数的几何意义

一、知识与技能：

1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；

2．理解曲线的切线的概念；

3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；

4．理解导函数

二、过程与方法：

通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结，发现问题，解决问题，达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。

三、情感态度与价值观：

导数的几何意义能够很好地帮助理解导数的定义，达到数与形的结合；同时又是知识在几何学，物理学方面的迁移应用。培养学生学数学，用数学的意识。

识记

理解

应用

综合

课标要求

认知层次

知识点

知识点1 平均变化率与割线斜率的关系

知识点2 曲线切线的概念

知识点3 导数的几何意义

知识点4 导函数的概念

∨

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1.通过作函数f(x)图像上过点P(x0,f(x0))的割线和切线直观感受由割线过渡到切线的

目标设计

变化过程

2.掌握函数在某一点处的导数的几何意义，进一步理解导数的定义

3.会利用导数求函数曲线上某一点的切线方程（注意在某一点处和过该点的切线方程的区别）

情境一：如图，观察图中当P割线PP,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时，n(xn,f(xn))(n1n的变化趋势

问题1：当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PPn逐渐趋近于哪个位置？这个位置有什么特点？（得出切线定义）

问题2：这个切线的定义与以前我们学过的切线定义有何不同？（可引导学生从交点个数上进行分析）

k问题3：割线PPn的斜率kn如何表达？切线PT的斜率如何表

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达，它们有何关系？

（容易知道，割线PPn的斜率是knf(xn)f(x0),当点Pn沿着曲线无限接近点P时，kn无限趋近于切xnx0线PT的斜率k）

情境二：联系上节课我们所学的平均变化率和瞬时变化率，与这节课的割线斜率和切线斜率进行类比，从而发现知识间的相互关系再进一步得到导数的几何意义

瞬时变化率

平均变化率切线的斜率

割线的斜率问题1：已知曲线上两点P(x0,f(x0)),Pn(x0x,f(x0x))，

x0x0fx0xf(x0)）

xfx0xf(x0)（2）结合x0，割线PPn→切线PT，则切线PT的斜率k可表示为什么？（klim）

x0x问题2：你能发现导数的几何意义吗？

求：(1)结合两点坐标，割线PPn的斜率kn可表示为什么？（kn函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点(x0,f(x0))处的切线的斜率，

即

f(x0)limx0f(x0x)f(x0)k

x情境三 典例探究（课本例2）

如右图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(x)4.9x26.5x10，根据图像，请描述、比较曲线h(t)在t0、t1、t2附近的变化情况．

问题1：用图形体现h/(1)3.3，h/(0.5)1.6的几何意义。

问题2：导数值的正负，反应该点附近的曲线有何变化趋势？

问题3：运用导数的几何意义，描述h(t)在t0,t1,t2附近增（减）以及增（减）快慢的情况。

变式：在t3,t4附近呢？

此处要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（同桌讨论、描述运动员的运动状态），体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”的思想方法。

从中小结出: 1.点附近的增减-----导数的正负-----过该点切线的斜率正负;

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2.增减快慢-----导数的绝对值大小----过该点切线的斜率大小的绝对值---曲线在该点附近的陡峭程度。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．情境四：随x0的变化，函数值f(x0)也在不断变化，但一旦x0确定，则函数值f(x0)也随之确定下来而且是唯一的，这符合了函数的定义，那么这个新的函数有什么特殊的名字吗？

由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当x=x0时,f(x0)

是一个确定的数，那么,当x变化时,便是

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x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：f(x)或y，即：f(x)ylim（注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数）

【典型例题】求函数y3x3在点P(1,3)处的切线方程. 问题3：你能归纳总结出求切线方程的一般步骤吗？

求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:

①求出P点的坐标; ②求出函数在点x0处的变化率f(x0)lim③利用点斜式求切线方程

变式研究：若把“在P(1,3)处”改为“过点P(1,3)”的话,结果如何？

习题设计：

x0x0f(xx)f(x)

xf(x0x)f(x0)k

，得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率；

x1. 已知曲线yx21上的两点A（2，3），当x1时，割线AB的斜率是__________，当x0.1B(2x,3y)，时，割线AB的斜率是____，曲线在点A处的切线方程是_______。 （知识点1，易）

2.曲线y2x21在点P(1,3)处的切线方程为（ ） （知识点2，易）

A．y4x1 B．y4x7 C．y4x1 D．y4x7

3函数yf(x)在xx0处的导数f/(x0)的几何意义是（ ） （知识点3，易）

A在点xx0处的函数值 B在点(x0,f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值

C曲线yf(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率D点(x0,f(x0))与点（0，0）连线的斜率. 4.已知曲线y4在点P（1，4）处的切线与直线l平行且距离为17，则直线l的方程为

xA 4xy90或4xy250 B 4xy90

C 4xy90或4xy250 D 以上都不对 （知识点3，中）

5. 若f/(x0)3，则limh0f(x0h)f(x03h)＝（ ） （知识点3，难）

hA -3 B -6 C -9 D -12

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