1.2.1 充要条件教学目标

《充要条件》教学设计

教学目标

1．理解并掌握充要条件的概念．

2．掌握判断命题的条件的充要性的方法．

3．培养学生简单的逻辑推理的思维能力．

教学重点

1．理解充要条件的意义．

2．命题条件的充要性判断．

教学难点

命题条件的充要性判断．

教学过程

一、复习引入

一种逻辑关系的四种表达形式 : ①“若p则q”为真命题； ②pq; ③p是q的充分条件； ④q是p的必要条件.

练习:判断正误

(Ⅰ) ①xy是x2y2的充分条件.( ) 22xyxy

②是的必要条件.( ) (Ⅱ) ①sinAsinB是AB的充分条件.( ) ②sinAsinB是AB的必要条件.( ) 答案:(Ⅰ)√× (Ⅱ) ×√

二、探究新知

定义：一般地，如果既有pq，又有qp，就记作：“pq”，此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果p是q的充要条件，那么q是p的充要条件.概括地说:如果pq,那么p与q互为充要条件.也说p与q等价.

例1. 下列各题中，哪些p是q的充要条件？

（1）p:b0，q:函数f(x)ax2bxc是偶函数；

（2）p:x0,y0，q:xy0；

（3）p:ab，q:acbc. 解:在(1)(3)中，pq，所以(1)(3)中的p是q的充要条件.在(2)中，qp，所以(2)中的p不是q的充要条件.

练习1、请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空：

“x20”“(x2)(x3)0”(1) 是的＿＿＿＿条件.

(2)“同位角相等”是“两直线平行”的＿＿＿条件. (3)“x3”是“x9”的＿＿＿＿＿＿条件. 2

(4)“四边形的对角线相等”是“四边形为平行四边形”的＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿条件. 答案:⑴必要不充分⑵充要⑶充分不必要⑷既不充分也不必要

练习2、设集合M＝{x｜x＞2}，P＝{x｜x＜3}，则“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的什么条件?

1练习3、已知p：｜5x－2｜＞3，q：

2

＞0．则p是q的什么条件? x4x5

三、运用新知

例2、已知p:－2≤x≤10，q：1－m＜x＜1＋m

(m>0)，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

【解】

p：－2≤x≤10.

q：1－m＜x＜1＋m(m>0)．

因为p是q的充分不必要条件．

即{x|－2≤x≤10}

{x|1－m＜x＜1＋m}，

1m2故101m， 解得m＞9.又m>0 实数m的范围为{m|m>9}．

例3. 已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．

求证：dr是直线l与⊙O相切的充要条件．

证明：（１）充分性（pq）：

作OPl与点P，则OPd．若dr，则点P在⊙O上．

在直线l上任取一点Q（异于点P），连接OQ.在RtOPQ中，OQOPr．

所以，除点P外直线l上的点都在⊙O的外部，即直线l与⊙O仅有一个公共点P．

所以直线l与⊙O相切．

（２）必要性(qp)：

若直线l与⊙O相切，不妨设切点为P，则OPl．因此，dOPr．

练习：求证q0是实系数一元二次方程xxq0有两个异号根的充要条件．

证明：（1）先证充分性

∵q0，

∴方程x2xq0的14q0．

∴方程xxq0有两个不相等的实根，设其为x1，x2．

∵x·1x2q0，

∴方程xxq0有两个异号实根．

（2）再证必要性

∵方程xxq0有两个异号实根，设其为x1，x2

∴x·1x20，

∵x·1x2q，

∴q0．

由（1）（2），原命题得证．

2222

四、课堂小结 1.四种条件的判断：

条件p与结论q的关系

pq且qp

结论

p是q成立的充分不必要条件

p是q成立的必要不充分条件

p是q成立的充要条件

p是q成立的既不充分也不必要条件

pq且qp

p⇒q，q⇒p，即p⇔q

pq且qp

2．证明p是q的充要条件，应分两步：

①

充分性：p推出q. ②

必要性：q推出p.

五、布置作业

课本P12

练习

1，2 习题A组2,3,4