3.1.3 空间向量的数量积运算优秀教案

《空间向量的数量积》教学设计

［教学内容解析］

空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角.空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具.本节课是空间向量教学的第三节课，在本章的教学中有着十分重要的承接作用，一方面，是将向量工具在空间背景下的进一步拓展和推广，另一方面，本节课仍是从向量角度即形的角度进行教学，却为后续的空间向量基本定理与之后从数的角度来学习空间向量打下了基础. ［学生学情分析］

1.

知识储备

学生在必修四中就已经学***面向量及其运算，空间向量的学习是为引导学生实现对向量本质的认识，从而实现从平面到空间的突破.

2．心理储备

学生在学习了空间向量与其加减法后，与之前相比，对向量的认识有了很大的提升，也会使得学生产生能否进一步将平面向量的其他的运算在空间向量中类比推广的困惑，正是这种心理上的困惑和需求，这节课的学习将更能让学生对数学知识的发展与联系有足够的认识，以及对知识的探求有更大的欲望. ［教学目标设置］

1、知识与技能目标:

掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；掌握两个向量的数量积的计算方法

2、方法与过程目标:学生能通过自主探究,合作交流，体会类比等数学思想方法,提升类比、分析以及研究问题的能力. 3、情感态度与价值观: 学生在自主探究、合作交流的过程中，感悟数学概念的合理性、严谨性、科学性，感悟数学的本质，提高对数学学习的兴趣与信心.并能进一步体会向量中所蕴含的哲学原理：两点论与重点论辩证统一、事物是普遍联系的、事物是变化发展的、透过现象认识本质. ［教学重点］

空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。

［教学难点］

空间数量积的几何意义及立体几何问题的转化。

［教学策略分析］

课堂设计以点的数目为隐藏主线，以问题链的方式，通过问题引导学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，使得学生在平面向量及其运算基础上，自主探究空间向量的数量积运算的生成过程及应用，从而能更加深入的理解向量的本质与在空间中的适用性，实现了在探索中发现数学本质，体会数学建构的乐趣. ［教学过程］：

一、开门见山，直入课题

师：在前一节课上，我们通过类比，发现空间向量的本质与平面向量的本质没有区别，都是有大小有方向的有向线段.并且平面向量的数量积法也适用于空间向量.那么今天，我们就一起来进一步探究一下平面向量的数乘运算是否也能类比推广到空间中呢？

二、回顾旧知，类比迁移

空间向量基本定理及其推论；

1．空间向量的夹角及其表示：

已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作OAaO,Bb，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作a,b；且规定0a,b，显然有a,bb,a；

若a,b2．向量的模：

设OAa，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|；

3．向量的数量积：

已知向量a,b，则|a||b|cos,ab记作ab，即ab|a||b|cosa,b．

已知向量ABa和轴l，e是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A，作点B在l上的射影B，则AB叫做向量AB在轴l上或在e上的正射影；可以证明AB的长度叫做a,b的数量积，2，则称a与b互相垂直，记作：ab；

e

B

A

B

C

A

|AB||AB|cosae,．

ae4．空间向量数量积的性质： （1）ae|a|cosa,e．

（2）abab0．

（3）|a|aa．

5．空间向量数量积运算律：

（1）(a)b(ab)a(b)．

（2）abba（交换律）．

（3）a(bc)abac（分配律）．

三、定义应用，巩固提高

例1．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。

已知：m,n是平面内的两条相交直线，直线l与平面的交点为B，且lm,ln

2

求证：l．

证明：在内作不与m,n重合的任一直线g，

在l,m,n,g上取非零向量l,m,n,g，∵m,n相交，

∴向量m,n不平行，由共面定理可知，存在

唯一有序实数对(x,y)，使gxmyn，

∴lgxlmyln，又∵lm0,ln0，

∴lg0，∴lg，∴lg，

所以，直线l垂直于平面内的任意一条直线，即得l．

设计意图：通过练习学习加深对定义的理解，认识到根据向量数量积可以解决简单的几何题证明

例2．如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，gnlmnlmgOAB60，求OA与BC的夹角的余弦值。

解：∵BCACAB，

∴OABCOAACOAAB

O

|OA||AC|cosOA,AC|OA||AB|cosOA,AB

84cos13586cos12024162

∴cosOA,BCA

B

C

OABC24162322，

855|OA||BC|322．

5所以，OA与BC的夹角的余弦值为设计意图：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明。

四、归纳总结，提炼提升

1、空间向量的数量积运算. 2、向量数量积的定义与应用. 3、类比法的应用与实践经验.

4、哲学思想的提炼总结.

设计意图：通过学生总结、教师补充与提炼，深化内容，这既是对整节课堂教学的回顾，又能对教学效果及时反馈评价.

五、实践作业，深化巩固

课本第99页练习第1、2、3题。

六．课堂小结：空间向量数量积的概念和性质。

七．作业：课本第106页第3、4题