3.1.3 空间向量的数量积运算优秀教学设计

3.1.3

空间向量的数量积运算

教学目的

⒈掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；

⒉掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；

⒊掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题；

教学重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用；

教学难点：两个向量数量积的几何意义

教学过程：

一．自学导引

1.若OAa,则有向线段OA的长度叫做向量a的_________,记作_________. 2.如图，已知两个非零向量a、b，在空间任取一点O，作OAa，OBb，则_________叫做向量a、b的_________，记作_________. 3.向量a、b的夹角〈a，b〉的范围是_________, 当a,b2时，则称__________________，并记作_________. 4.|a||b|cos〈a，b〉叫做__________________,记作_________，

即__________________. 5.空间向量的数量积的性质：

(1)

ae_________________; (2)

ab____________________________________; (3)

|a|2____________________________________. 6.空间向量的数量积满足的运算律：

(1)____________________________________; (2)____________________________________; (3)____________________________________. 二．典例分析

1

【例1】证明三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直

已知：如图，PO,PA分别是平面的垂线、斜线，AO是PA在平面内的射影，l,lOA，求证：lPA

变式：证明三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直

【例2】.已知空间四边形ABCD中，ABCD，ACBD，求证：ADBC．

【例3】

如图，在空间四边形OABC中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，∠OAC=45°，∠OAB=60°，求OA与BC夹角的余弦值.

2

【例4】

已知平行四边形ABCD中，AD=4，CD=３，∠D=60°，PA⊥平面ABCD，并且PA=６，求PC的长.

1.已知|a|=2,|b|=3,〈a,b〉=60°，则|2a-3bA.97

B.97

等于(

)

D.61 C.61

2.下列各命题中，不正确的命题的个数为…(

) ．．．①aa|a|

②m(λa)·b=(mλ)a·b(m、λ∈R) ③a·(b+c)=(b+c)·a

④a2b=b2a

A.4

B.3

C.2

D.1 3.已知非零向量a、b不平行，并且其模相等，则a+b与a-b之间的关系是(

) A.垂直

C.不垂直

B.共线

D.以上都可能

) 4.已知向量a、b、c两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则|a-b+2c|等于A.5

B.5

C.6

D.6

5.已知PA⊥平面ABC，∠ABC=12０°，PA=AB=BC=６，则PC等于(

) A.62

C.12

D.144

3

6.已知向量a、b，两向量的夹角为30°，且|a|=3，|b|=4，则（a+2b）·（a-b）=_________.

7.在边长为2的正三角形ABC中，设

8.设ab，a,c

9.已知空间四边形ABCD，求ABCDBCADCABD的值.

AB=c,BC=a,CA=b，则a·b+b·c+c·a=_______. 3,b,c6，且|a|1,|b|2,|c|3，求向量abc的模

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