3.1.1 空间向量及其加减运算公开课教案

3.1.1空间向量及其加减运算

教学目标：

1、经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念；

2、掌握空间向量的加法、减法；

3、用空间向量的运算意义和运算律解决简单的立体几何问题。

教学重点：空间向量的概念、用空间向量的运算意义和运算律解决简单的立体几何问题。

教学过程：

一.问题情境

在必修4中，我们研究了平面向量的概念、运算及其性质，进而解决了平面上有关点、线的位置关系及度量问题。

但向量不一定都在同一平面内，比如：

如图一块均匀的正三角形钢板质量为500kg，在它的顶点处分别受F1、F2、F3三个力，每个力与同它相邻的三角形的两边的夹角都是60度，且︱F1︱= ︱F2︱

=︱F3︱=200kg。

这块钢板在这些力的作用下将怎样运动？

这里的三个向量不在同一平面内，不能直接用平面向量来解决，为此需要将向量由平面向空间推广! 二.数学理论

1、复***面向量与空间向量的有关概念

（课堂要求：学生课堂提前复***面向量的概念及其性质，以小组为单位汇报。）

(1)在平面上，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量。

平面上的向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

长度为0的向量叫零向量，记作0，0的方向是任意的；

1

长度为1个单位长度的向量，叫单位向量；

方向相反但模相等的向量叫做相反向量；向量a的相反向量记作－a．

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(共线向量)，规定0与任一向量平行；

记作：a∥b，0∥a．

由向量的实际背景，平面向量的有关概念都可以移植到空间中。

(2)空间向量的有关概念：

在空间，我们把既有大小又有方向的量叫做空间向量.

空间向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量.

在空间中，

长度为0的向量叫零向量，记作0，0的方向是任意的；

长度为1个单位长度的向量，叫单位向量；

方向相反但模相等的向量叫做相反向量;向量a的相反向量记作－a．

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(共线向量)，规定0与任一向量平行；

记作：a∥b，0∥a．

2.平面向量与空间向量的线性运算

我们现在研究的是自由向量,大小相等方向相同的向量是相等向量,而与它们的起点无关. 所以任意两个空间向量都可以平移到同一平面内

因此,空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示.

这样,空间两个向量的线性运算的意义与平面向量完全一样. →→

已知空间向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，AB＝b.由O，A，B三点确定一个平面或共线可得，空间任意两个向量都可以用同一平面内的两个有向线段来表示.

2 a b B α

O A

空间向量的加法、减法与数乘运算的意义如下（如图）

→→→

OB＝OA＋AB＝a＋b（三角形法则）

→→→

OC＝OA＋OB＝a＋b（平行四边形法则）

→→→

BA＝OA－OB＝a－b

→

OP＝λa(λ∈R)

平面向量的线性运算满足下列运算律

运算律：

⑴加法交换律：a＋b＝b＋a

b a O a＋b a b A B B a＋b b

O a A C B a－b b O a A O

a λa P

⑵加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

⑶数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R) 那么,空间向量的运算是否仍满足上述规律? (1),(3)中只涉及两个向量,显然满足,但(2)中涉及三个向量,在空间中是否成立? 这一规律关系到空间中三个向量和的定义问题?

结合律的验证：

A b B a a＋b

C b＋c

3 O a＋b＋c

c

三个向量中有共线向量时规律显然成立.

平面向量共线的充要条件在空间也是成立的

3．共线向量定理：

共线向量定理：空间任意两个向量a,b(a≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.

三.数学运用

例1.

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1的中点，

化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：

→→(1)CB＋BA1; →→1→(2)AC＋CB＋AA1; 2→→→(3)AA1－AC－CB

→→→解：(1)CB＋BA1＝CA1

(2)因为M是BB1的中点, →1→→→1→所以BM＝BB1，AC＋CB＋AA1

22→→→→1→→→→又AA1＝BB1，所以AC＋CB＋AA1＝AB＋BM＝AM. 2→→→→→→(3)AA1－AC－CB＝CA1－CB＝BA1. 四.探究

→→→AB＋AD＋

AA’三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？

小结：

三个共起点的向量之和，等于以这三个向量

为棱的平行六面体中，以该公共起点为起点的对角

线所表示的向量。

→→→→思考1：用AB，AD，

AA’表示向量BD’

思考2：

（1）空间中任意一个向量是不是都能用这三个向量来表示？

（2）是不是空间中任意三个向量都能去表示别的向量？

4 A1

C1

B1

M A C B D’

A’

C’

B’

D C A B

（3）空间中满足什么样条件的三个向量才能去表示别的向量？

【课堂练习】

已知空间四边形ABCD，连结AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：

→→→(1)AB＋BC＋CD；

→1→→(2)AB＋(BD＋BC)；

2→1→→(3)AB－(AB＋AC)．

2

五.回顾总结

一、平面向量与空间向量中向量的定义、基本性质以及运算律完全相同；

二、空间任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。

六.布置作业

习题3.1

A组

1、2 B组

1（选做）

板书设计

3.1.1空间向量及其加减运算

→→→1、

平面向量

探究：平行六面体中AB＋AD＋

AA’？

2、空间向量：在空间中既有大小

又有方向的量叫做平面向量。

3、加减运算：三角形法则、

平行四边形法则

练习：

4、三个向量加法？

BMCGDA5